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逻辑推理
在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数.求证:无论哪种填法,至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格),每对小方...
2023-05-29 10:01
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站内问答
/
数学
1933
1
3
这道
初中
数学的题目是:
在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数.求证:无论哪种填法,至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格),每对小方格中所填之数的差均不小于10.
1条回答
暴雪
2023-05-29 10:29
这道
初中
数学题的正确答案为:
设a,b分别为这324个正整数中的最小者和最大者,由于这些数互不相等,所以有b-a≥323;
(1)当a和b所在的方格既不同行又不同列时;
从a所在的方格出发,可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到b所在的格.
由于a和b既不同行又不同列,总存在两条完全不同的路线(两路线途经的方格无一相同),由a所在的方格到达b所在的方格.显然,无论是线路甲,还是线路乙,其相邻移动的次数均不超过17+17=34次.
若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9,则323≤b-a≤34×9=306.这与事实不符.
路线乙的情况完全相同,所以,在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格,其中所填之数的差均不小于10.
(2)当a和b所在的方格同行或同列时;
与情况1类似,同样可以找到两条完全不同的,移动次数不大于34次的路线甲和路线乙,其中各存在一对相邻小方格,其中所填之数的差均不小于10.
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(1)当a和b所在的方格既不同行又不同列时;
从a所在的方格出发,可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到b所在的格.
由于a和b既不同行又不同列,总存在两条完全不同的路线(两路线途经的方格无一相同),由a所在的方格到达b所在的方格.显然,无论是线路甲,还是线路乙,其相邻移动的次数均不超过17+17=34次.
若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9,则323≤b-a≤34×9=306.这与事实不符.
路线乙的情况完全相同,所以,在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格,其中所填之数的差均不小于10.
(2)当a和b所在的方格同行或同列时;
与情况1类似,同样可以找到两条完全不同的,移动次数不大于34次的路线甲和路线乙,其中各存在一对相邻小方格,其中所填之数的差均不小于10.
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