这道初中数学题的正确答案为：

解：（1）设敬老院有x名老人， 牛奶盒数：（5x+38）盒；（1分） （2）设敬老院有x名老人， 根题意得：，（4分） ∴不等式组的解集为：39＜x≤43，（6分） ∵x为整数， ∴x=40，41，42，43， 答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人．（8分）

解题思路 （1）根据如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，可得到．
（2）设敬老院有x名老人，根据如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒，可列出不等式组求解．