一、选择题
1．(2011?泰州)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
答案 C
解析 四组条件中，①②③可作为判定平行四边形的条件；④不可以，因为等腰梯形有AB∥CD，AD＝BC.
2．(2011?宁夏)点A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面符合这样条件的点D有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 如图，可画出平行四边形三个，符合条件的点D有三个．
3．(2011?达州)如图，在?ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC＝∠DCE，则下列结论不正确的是( )
A．S△AFD＝2S△EFB
B．BF＝12DF
C．四边形AECD是等腰梯形
D．∠AEB＝∠ADC
答案 A
解析 因为E是BC的中点，所以BE＝12BC，又四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，△AFD∽△EFB，S△EFBS△AFD＝BEAD2＝122＝14，故S△AFD＝4S△EFB.
4．(2011?安徽)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A．7 B．9 C．10 D．11
答案 D
解析 ∵E、F是AB、AC的中点，
∴EF綊12BC.
∵H、G是BD、CD的中点，
∴HG綊12BC.
∴EF綊HG，四边形EFGH是平行四边形．
∵E、H是AB、BD的中点，
∴EH＝12AD＝3.
在Rt△BCD中，BC＝32＋42＝5，所以?EFGH的周长＝2×3＋52＝11.
5．(2011?浙江)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④CD?AE＝EF?CG；
一定正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 D
解析 ①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴CE＝BD，故①正确．
②∵四边形ACDE是平行四边形，
∴∠EAD＝∠ADC＝90°，AE＝CD.
∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD，
∴AD＝CD，∴△ADC是等腰直角三角形，故②正确．
③∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝90°＋45°＝135°.
∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠BAE＝360°－90°－90°－45°＝135°，
∴∠BAD＝∠BAE.
又∵AB＝AB，AD＝AE，∴△BAE≌△BAD(SAS)，
∴∠ADB＝∠AEB，故③正确．
④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，
∴△CAE≌△BAE，∴∠BEA＝∠AEC＝∠BDA.
∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＋∠BDA＝90°.
∵∠GFD＝∠AFE，∴∠GDF＋GFD＝90°，
∴∠CGD＝90°.
∵∠FAE＝90°，∠GCD＝∠AEF，∴△CGD～△EAF，
∴CDEF＝CGAE，∴CD?AE＝EF?CG，故④正确．
正确的结论有4个，选D.
二、填空题
6．(2011?苏州)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O.若AC＝6，则线段AO的长度等于___________．
答案 3
解析 ∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO＝12AC＝12×6＝3.
7．(2011?聊城)如图，在?ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3 cm，则AD的长是__________cm.
答案 6
解析 在?ABCD中，BO＝DO，
∵点E是AE中点，
∴AE＝BE，
∴EO是△ABD的中位线．
∴OE＝12AD，
∴AD＝2×3＝6 cm.
8．(2011?临沂)如图，?ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为________．
答案 6
解析 在?ABCD中，AB∥DC，
∴∠E＝∠DCF.
∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠BCE，
∴∠E＝∠BCE，
∴BC＝BE.
∵AB＝AE＝3，
∴BE＝6.
即BC＝6.
9．(2011?泉州)如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．
答案 18°
解析 ∵P是BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，
∴PE＝12AD，PF＝12BC.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝18°.
10．(2011?金华)如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是__________．
答案 2 3
解析 在Rt△BEF中，∠ABC＝60°，BE＝12BC＝12AD＝12×4＝2.
∴BF＝1，EF＝3.
易证△BEF≌△CEH，∴BF＝CH＝1，EF＝EH＝3，
∴S△DEF＝S△DEH＝12DH?EH＝12×(3＋1)×3＝2 3.
三、解答题
11．(2011?宜宾)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.
求证：GF∥HE.
解 证明：在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
∵AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE.
同理可证，OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
∴GF∥HE.
12．(2011?福州) 如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)
关系：①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.
已知：在四边形ABCD中，__________，__________；
求证：四边形ABCD是平行四边形．
解 选①、③.
证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.
∵∠A＝∠C，
∴∠C＋∠B＝180°，
∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形．(选①④、③④均可)
13．(2011?义乌)如图，已知E、F是?ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)．
解 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
(2)①△ABC≌△CDA；②△BCE≌△DAF.
14．(2011?广东)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
解 (1)在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝12AB，AC＝32AB.
在等边△ABE中，EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，AF＝12AE，EF＝32AE＝32AB，
∴AC＝EF.
(2)在等边△ACD中，∠DAC＝60°，
∴∠DAF＝60°＋30°＝90°＝∠EFA，
∴AD∥EF.
又AD＝AC＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
15．(2011?北京) 在?ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE＝CF；
(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；
(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．
解 (1) 证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，
∴∠CEF＝∠F，∴ CE＝CF.
(2)∠BDG＝45°.
(3) 解法一：分别连接GB、GE、GC(如图4)．
∵AB∥DC，∠ABC＝120°，
∴∠ECF＝∠ABC＝120°.
∵FG ∥CE且FG＝CE，
∴四边形CEGF是平行四边形．
由(1)得CE＝CF, ∴?CEGF是菱形，
∴EG＝EC，∠GCF＝∠GCE＝12∠ECF＝60°.
∴△ ECG是等边三角形．
∴EG＝CG，…①
∴∠GEC＝∠EGC＝60°，
∴∠GEC＝∠GCF，
∴∠BEG＝∠DCG，…②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE.
在?ABCD中，AB＝DC，
∴BE＝DC，…③
由①②③得，△BEG ≌ △DCG.
∴ BG＝DG，∠1＝∠2，
∴ ∠BGD＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60°.
∴ ∠BDG＝12(180°－∠BGD)＝60°.
解法二：延长AB、FG交于H，连接HD，如图5，
易证四边形AHFD是平行四边形．
∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°，
∴△DAF为等腰三角形，∴AD＝DF，
图5
∴平行四边形AHFD是菱形，
∴△ADH、△DHF为全等的等边三角形，
∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°.
∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，
∴BH＝GF.
∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH＝∠GDF，
∴∠BDG＝∠BDH＋∠HDG＝∠GDF＋∠HDG＝60°.
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