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  实数部分 一、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 二、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。 三、实数的运算 1、加法： (1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加; (2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法： (1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 (2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。 (3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法： (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。 (3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 四、有效数字和科学记数法 1、科学记数法：设N>0，则N= a× (其中1≤a<10，n为整数)。 2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：(1)精确到那一位;(2)保留几个有效数字。 代数部分 第二章：代数式 基础知识点： 一、代数式 1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。 2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。 3、代数式的分类： 二、整式的有关概念及运算 1、概念 (1)单项式：像x、7、 ，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。 (2)多项式：几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。 多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。 升(降)幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小(大)到大(小)的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。 (3)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 2、运算 (1)整式的加减： 合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。 去括号法则：括号前面是“ ”号，把括号和它前面的“ ”号去掉，括号里各项都不变;括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。 添括号法则：括号前面是“ ”号，括到括号里的各项都不变;括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。 整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。 (2)整式的乘除： 幂的运算法则：其中m、n都是正整数 同底数幂相乘： ;同底数幂相除： ;幂的乘方： 积的乘方： 。 单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数;对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。 乘法公式： 平方差公式： ; 完全平方公式： ， 三、因式分解 1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。 2、常用的因式分解方法： (1)提取公因式法： (2)运用公式法： 平方差公式： ;完全平方公式： (3)十字相乘法： (4)分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。 (5)运用求根公式法：若 的两个根是 、 ，则有： 3、因式分解的一般步骤： (1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式; (2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法; (3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 (4)最后考虑用分组分解法。 四、分式 1、分式定义：形如 的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。 (1)分式无意义：B=0时，分式无意义; B≠0时，分式有意义。 (2)分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。 (3)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。 (4)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。 (5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。 (6)最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。 (7)有理式：整式和分式统称有理式。 2、分式的基本性质： (1) ;(2) (3)分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算： (1)加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减;异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。 (2)乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 (3)除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。 (4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。 五、二次根式 1、二次根式的概念：式子 叫做二次根式。 (1)最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。 (2)同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。 (3)分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。 (4)有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式(常用的有理化因式有： 与 ; 与 ) 2、二次根式的性质： (1) ; (2) ; (3) (a≥0，b≥0); (4) 3、运算： (1)二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。 (2)二次根式的乘法： (a≥0，b≥0)。 (3)二次根式的除法： 二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。 例题： 一、因式分解： 1、提公因式法： 例1、 分析：先提公因式，后用平方差公式解：略 [规律总结]因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解。 2、十字相乘法： 例2、(1) ;(2) 分析：可看成是 和(x y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略 [规律总结]应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法。 3、分组分解法： 例3、 分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略 [规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。 二、式的运算 1、巧用公式 例5、计算： 分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。解：略 [规律总结]抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确。 2、化简求值： 一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。 3、分式的计算： 化简分式计算过程中：(1)除法转化为乘法时，要倒转分子、分母;(2)注意负号 4、根式计算 二次根式的性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。 代数部分 第三章：方程和方程组 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 (1)一元一次方程的标准形式：ax b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0) (2)一玩一次方程的最简形式：ax=b(其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0) (3)解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 (4)一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程 (1)一元二次方程的一般形式： (其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0) (2)一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 (3)一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。 (4)一元二次方程的根的判别式： 当Δ>0时 方程有两个不相等的实数根; 当Δ=0时 方程有两个相等的实数根; 当Δ< 0时 方程没有实数根，无解; 当Δ≥0时 方程有两个实数根 (5)一元二次方程根与系数的关系： 若 是一元二次方程 的两个根，那么： ， (6)以两个数 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是： 三、分式方程 (1)定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 (2)分式方程的解法： 一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。 特殊方法：换元法。 (3)检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根;使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。 四、方程组 1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。 2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组 3、一次方程组： (1)二元一次方程组： 一般形式： ( 不全为0) 解法：代入消远法和加减消元法 解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。 (2)三元一次方程组： 解法：代入消元法和加减消元法 4、二元二次方程组： (1)定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。 (2)解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。 考点与命题趋向分析 例题： 一、一元二次方程的解法 1：(1)用直接开方法解;(2)用公式法;(3)用因式分解法 [规律总结]如果一元二次方程形如 ，就可以用直接开方法来解;利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。 2：(1);先化为一般形式，再用公式法解;(2)直接可以十字相乘法因式分解后可求解。 [规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。 二、分式方程的解法： 分析：(1)用去分母的方法;(2)用换元法 解：略 [规律总结]一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解。 三、根的判别式及根与系数的关系 1[规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0 2 [规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单。 三、方程组 1分析：(1)用加减消元法消x较简单;(2)应该先用加减消元法消去y，变成二元一次方程组，较易求解。 [规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。 2分析：(1)可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解;(2)要先把第一个方程因式分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。解：略 [规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解。 代数部分 第四章：列方程(组)解应用题 知识点： 一、列方程(组)解应用题的一般步骤 1、审题： 2、设未知数; 3、找出相等关系，列方程(组); 4、解方程(组); 5、检验，作答; 二、列方程(组)解应用题常见类型题及其等量关系; 1、工程问题 (1)基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间 (2)常见的等量关系：甲的工作量 乙的工作量=甲、乙合作的工作总量 (3)注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题 2、行程问题 (1)基本量之间的关系：路程=速度×时间 (2)常见等量关系： 相遇问题：甲走的路程 乙走的路程=全路程 追及问题(设甲速度快)： 同时不同地：甲的时间=乙的时间;甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程 同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差;甲的路程=乙的路程 3、水中航行问题： 顺流速度=船在静水中的速度 水流速度; 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度 4、增长率问题： 常见等量关系：增长后的量=原来的量 增长的量;增长的量=原来的量×(1 增长率); 5、数字问题： 基本量之间的关系：三位数=个位上的数 十位上的数×10 百位上的数×100 三、列方程解应用题的常用方法 1、译式法： 就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。 2、线示法： 就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。 3、列表法： 就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。 4、图示法： 就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。 代数部分 第五章：不等式及不等式组 知识点： 一、不等式与不等式的性质 1、不等式：表示不等关系的式子。(表示不等关系的常用符号：≠，<，>)。 2、不等式的性质： (l)不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号方向不改变，如a> b， c为实数 a+c>b+c (2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变，如a>b， c>0 ac>bc。 (3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变，如a>b，c<0 ac 注：在不等式的两边都乘以(或除以)一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性(正数，零，负数)再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。 3、任意两个实数a，b的大小关系(三种)： (1)a – b >0 a>b (2)a – b=0 a=b (3)a–b<0 a 4、(1)a>b>0 (2)a>b>0 二、不等式(组)的解、解集、解不等式 1、能使一个不等式(组)成立的未知数的一个值叫做这个不等式(组)的一个解。 不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。 2.求不等式(组)的解集的过程叫做解不等式(组)。 三、不等式(组)的类型及解法 1、一元一次不等式： (l)概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。 (2)解法： 与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以(或除以)一个负数时，不等号方向要改变。 2、一元一次不等式组： (l)概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 (2)解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。 注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。