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进入初三,同学们都感到作业量增加,知识难度增大,但在数量庞大的作业题中,如何将知识分类细化,发现规律,查找漏洞,是能否在紧张的学习中取胜的关键之一。因此,本次把同学们在作业里出现的易混淆、易出错的几道例题进行分析比较,和同学们共同探讨。 例1 如图所示,AD、DC、CB分别切半圆⊙O于点A、E、B,且AD=3cm,BC=5cm,求直径AB的长度。 解:过点D作DF⊥CB于点F ∵AD、CB是切线 ∴AD⊥AB,CB⊥AB ∴四边形ABFD是矩形 ∴DF=AB,AD=FB∴CF=BC-FB=BC-AD=5-3=2cm 又∵AD、DC、CB是⊙O的切线,由切线长定理可知 ∴AD=DE,CE=CB∴CD=AD+CB=DE+CE=3+5=8cm ∴在Rt△DCF中,DF=■=■=2■cm ∴AB=2■cm 本题是典型的运用切线长定理的例题,其中直角梯形垂直于底的腰是上下底之和,再结合作高这种辅助线的做法,最后运用勾股定理求出直径。 例2 如图所示,CD切半圆⊙O于点E,AB为直径,AD⊥CD,BC⊥CD且AD=3cm,BC=5cm,求CD的长度。 解:连接OE,过点A作AF⊥CB于点F ∵AD⊥CD,BC⊥CD ∴四边形AFCD是矩形∴DC=AF,AD=CF ∴BF=BC-CF=BC-AD=5=3=2cm 又∵CD切半圆⊙O于点E∴OE⊥CD于E ∵AD⊥CD,BC⊥CD ∴AD∥OE∥CB,且AB为直径,O为圆心 ∴点E是DC的中点 ∴线段OE是梯形ABCD的中位线 ∴OE=■(AD+BC)=4cm ∴AB=2OE=8cm ∴在Rt△ABF中,AF=■=■=2■cm 在做完例1后,同学们会认为例2和例1图形很类似,是同类题,但实际差别较大。例2中只有一条圆的切线,所以不符合切线长定理的条件,因此梯形垂直于底的腰不是上下底之和,而是运用了梯形中位线的知识求出圆的半径,再用勾股定理计算CD的长。 例3 相交两圆的半径为■和■,公共弦为4,求这两个圆的圆心距。 解:本题分两种情况 第一种情况,公共弦AB与连心线O1O2交于点C(即O1O2=O1C+O2C) ∵O1O2垂直平分弦AB∴AC=2 ∴在Rt△AO1C中,O1C=■=■=■ ∴在Rt△AO2C中,O2C=■=■=1 ∴O1O2=O1C+O2C=■+1