如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA,CB分别延长到D,F,使AD=a,BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b),又在DE上截取DG=b,在EF上截取EH=b,连接AG,GH,HB.由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC,
证法3 如图2-18.在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB,自E作EG⊥CB延长线于G,自D作DK⊥CB延长线于K,又作AF, DH分别垂直EG于F,H.由作图不难证明,下述各直角三角形均与Rt△ABC全等:
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.
设五边形ACKDE的面积为S,一方面S=S
ABDE+2S
△ABC, ①
另一方面
S=S
ACGF+S
HGKD+2S
△ABC. ②由①,②
所以 c
2=a
2+b
2.
关于勾股定理,在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法,我们将在习题中展示其中一小部分,它们都以中国古代数学家的名字命名.
利用勾股定理,在一般三角形中,可以得到一个更一般的结论.
定理 在三角形中,锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和,减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍.
证 (1)设角C为锐角,如图2-19所示.作AD⊥BC于D, 则CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中,
AB
2=AD
2+BD
2, ①
在直角三角形ACD中,
AD
2=AC
2-CD
2, ②又
BD
2=(BC-CD)
2, ③②,③代入①得
AB
2=(AC
2-CD
2)+(BC-CD)
2 =AC
2-CD
2+BC
2+CD
2-2BC?CD
=AC
2+BC
2-2BC?CD,即
c
2=a
2+b
2-2a?CD. ④
(2)设角C为钝角,如图2-20所示.过A作AD与BC延长线垂直于D,则CD就是AC在BC(延长线)上的射影.在直角三角形ABD中,
AB
2=AD
2+BD
2, ⑤
在直角三角形ACD中,
AD
2=AC
2-CD
2, ⑥又
BD
2=(BC+CD)
2, ⑦将⑥,⑦代入⑤得
AB
2=(AC
2-CD
2)+(BC+CD)
2 =AC
2-CD
2+BC
2+CD
2+2BC?CD
=AC
2+BC
2+2BC?CD,即
c
2=a
2+b
2+2a?cd. ⑧综合④,⑧就是我们所需要的结论
特别地,当∠C=90°时,CD=0,上述结论正是勾股定理的表述:
因此,我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广).
由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在△ABC中,
(1)若c
2=a
2+b
2,则∠C=90°;
(2)若c
2<a
2+b
2,则∠C<90°;
(3)若c
2>a
2+b
2,则∠C>90°.
勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系,因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用
例1 如图2-21所示.已知:在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,作EF⊥AC于F,作FG⊥AB于G.求证:AB
2=2FG
2.
分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°,所以△AGF是等腰直角三角形,从而有AF
2=2FG
2,因而应有AF=AB,这启发我们去证明△ABE≌△AFE.
证 因为AE是∠FAB的平分线,EF⊥AF,又AE是△AFE与△ABE的公共边,所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS),
所以 AF=AB. ①
在Rt△AGF中,因为∠FAG=45°,所AG=FG,
AF
2=AG
2+FG
2=2FG
2. ②
由①,②得AB
2=2FG
2.
说明 事实上,在审题中,条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等,从而将AB“过渡”到AF,使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中,可以利用勾股定理进行证明了.
例2 如图2-22所示.AM是△ABC的BC边上的中线,求证:AB
2+AC
2=2(AM
2+BM
2).
证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内).由广勾股定理,在△ABM中,
AB
2=AM
2+BM
2+2BM?MD. ①
在△ACM中,
AC
2=AM
2+MC
2-2MC?MD. ②
①+②,并注意到MB=MC,所以
AB
2+AC
2=2(AM
2+BM
2). ③
如果设△ABC三边长分别为a,b,c,它们对应边上的中线长分别为m
a,m
b,m
c,由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式.
推论 △ABC的中线长公式:
说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形,其中一个是锐角三角形,另一个是钝角三角形(除等腰三角形外).利用广勾股定理恰好消去相反项,获得中线公式.①′,②′,③′中的m
a,m
b,m
c分别表示a,b,c边上的中线长.
c
2=a
2+b
2.
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