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如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以...
2022-12-26 09:43
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/
数学
823
1
4
这道
初中
数学的题目是:
如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60度.
恒成立的结论有
_________
.(把你认为正确的序号都填上)
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檀香
1楼-- · 2022-12-26 09:52
这道
初中
数学题的正确答案为:
①②③⑤
解题思路
①△ABC和△DCE均是等边三角形,点A,C,E在同一条直线上,
∴AC=BC,EC=DC,∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE,故本选项正确;
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ=∠CAP,
又∵∠PCQ=∠ACB=60°,CB=AC,
∴△BCQ≌△ACP,
∴CQ=CP,又∠PCQ=60°,
∴△PCQ为等边三角形,
∴∠QPC=60°=∠ACB,
∴PQ∥AE,故本选项正确;
③∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
∴∠ACP=∠BCQ,
∵AC=BC,∠DAC=∠QBC,
∴△ACP≌△BCQ(ASA),
∴CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确;
④已知△ABC、△DCE为正三角形,
故∠DCE=∠BCA=60°⇒∠DCB=60°,
又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA,∠BCA=60°⇒∠DPC>60°,
故DP不等于DE,故本选项错误;
⑤∵△ABC、△DCE为正三角形,
∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,DC=EC,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE,
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB,
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°,
∴∠AOB=60°,故本选项正确.
综上所述,正确的结论是①②③⑤.
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∴AC=BC,EC=DC,∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE,故本选项正确;
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ=∠CAP,
又∵∠PCQ=∠ACB=60°,CB=AC,
∴△BCQ≌△ACP,
∴CQ=CP,又∠PCQ=60°,
∴△PCQ为等边三角形,
∴∠QPC=60°=∠ACB,
∴PQ∥AE,故本选项正确;
③∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
∴∠ACP=∠BCQ,
∵AC=BC,∠DAC=∠QBC,
∴△ACP≌△BCQ(ASA),
∴CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确;
④已知△ABC、△DCE为正三角形,
故∠DCE=∠BCA=60°⇒∠DCB=60°,
又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA,∠BCA=60°⇒∠DPC>60°,
故DP不等于DE,故本选项错误;
⑤∵△ABC、△DCE为正三角形,
∴∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,DC=EC,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE,
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB,
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°,
∴∠AOB=60°,故本选项正确.
综上所述,正确的结论是①②③⑤.
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