相似多边形的性质

如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。（0º＜α＜90º）得到△A1B1C1，连结B...

2022-12-26 06:14发布

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这道初中数学的题目是：
如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。（0º＜α＜90º）得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F。

（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；
（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α；
（3）当α＝60º时，求BD的长。
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1条回答
小黑猫
1楼-- · 2022-12-26 06:29
这道初中数学题的正确答案为：
解：（1）全等的三角形有：
等。（只需写一个即可）
以证为例：
证明：

     
（2）在△CBB1中，∵CB=CB1，
又△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°      
①若，则∠B1DB=∠B1BD，∵∠B1DB=45°+α

（舍去）
②，即BD≠B1D     
③若BB1=BD，则，即  
由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°      
（3）作DG⊥BC于G，设CG=x
在Rt△CDG中，
在Rt△DGB中，
       
   
解题思路 （1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．由旋转的意义可证∠A1CF=∠BCD，A1C=BC，∠A1=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA1F．
（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．
（3）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函数即可求得BD的长．

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