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如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分...
2022-12-24 20:03
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/
数学
869
1
4
这道
初中
数学的题目是:
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y.
(1)求证:△DHQ∽△ABC;
(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;
(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?
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高高手
1楼-- · 2022-12-24 20:23
这道
初中
数学题的正确答案为:
(1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB,
∴
=90°,HD=HA,
∴
,…………………………………………………………………………3分
∴△DHQ∽△ABC. ……………………………………………………………………1分
(2)①如图1,当
时,
ED=
,QH=
,
此时
. …………………………………………3分
当
时,最大值
.
②如图2,当
时,
ED=
,QH=
,
此时
. …………………………………………2分
当
时,最大值
.
∴y与x之间的函数解题思路式为
y的最大值是
.……………………………………………………………………1分
(3)①如图1,当
时,
若DE=DH,∵DH=AH=
, DE=
,
∴
=
,
.
显然ED=EH,HD=HE不可能; ……………………………………………………1分
②如图2,当
时,
若DE=DH,
=
,
; …………………………………………1分
若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,
; ………………………1分
若ED=EH,则△EDH∽△HDA,
∴
,
,
. ……………………………………1分
∴当x的值为
时,△HDE是等腰三角形.
(其他解法相应给分)
解题思路
(1)根据对称性可得HD=HA,那么可得∠HDQ=∠A,加上已有的两个直角相等,那么所求的三角形相似;
(2)利用BP在不同位置的不同取值,得到y关于x的函数关系式,利用二次函数的最值即可求得最大值;
(3)等腰三角形有两边相等,根据所在的不同位置再分不同的边相等解答.
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∴=90°,HD=HA,
∴,…………………………………………………………………………3分
∴△DHQ∽△ABC. ……………………………………………………………………1分
(2)①如图1,当时,
ED=,QH=,
此时. …………………………………………3分
当时,最大值.
②如图2,当时,
ED=,QH=,
此时. …………………………………………2分
当时,最大值.
∴y与x之间的函数解题思路式为
y的最大值是.……………………………………………………………………1分
(3)①如图1,当时,
若DE=DH,∵DH=AH=, DE=,
∴=,.
显然ED=EH,HD=HE不可能; ……………………………………………………1分
②如图2,当时,
若DE=DH,=,; …………………………………………1分
若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,; ………………………1分
若ED=EH,则△EDH∽△HDA,
∴,,. ……………………………………1分
∴当x的值为时,△HDE是等腰三角形.
(其他解法相应给分)
(2)利用BP在不同位置的不同取值,得到y关于x的函数关系式,利用二次函数的最值即可求得最大值;
(3)等腰三角形有两边相等,根据所在的不同位置再分不同的边相等解答.
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