这道初中数学题的正确答案为：

（1）S= （2）或4或5或9－秒（3）

解题思路 解：（1）如图，

过点A作BC的高，则
∵等边△ABC的边长为3个单位
∴AB=BC=3，BD=CD=，AD=。
又∵点P的运动速度是每秒1个单位，
∴BP=t﹣3，DP=∣－（t﹣3）∣=∣－t∣。
∴在Rt△APD中，根据勾股定理得
S=。
（2）当点P在AB上时，S=AP=，。
当点P在BC上时，由S=得t²﹣9t+27=7，解得t₁=4，t₂=5。
当点P在CA上时，S=AP=9－t=，解得t=9－。
综上所述，当为或4或5或9－秒时，S等于。
（3）由（2）得当时，AP。
（1）过点A作BC的高，根据等边三角形的性质，求得BD和AD的长，用t表示出DP的长，在Rt△APD应用勾股定理即可表示出AP的长。
（2）分点P在AB上、点P在BC上和点P在CA上三种情况讨论即可。
（3）由（2）的三种情况分别写出即可。