这道初中数学题的正确答案为：

解：（1）联结AQ                                   ∵AB∥PQ     AB=PQ ∴AQ∥BP     AQ=BP ∵BP=3 ∴AQ=3 ∵ ∴ ∴ （2） ∵AB∥PQ，AQ∥BC ∴， ∵，，,， 当点P在边BC上时， ∴ ， 解得  ， 解得 ∴ 当点P在边BC的延长线上时， ∴ ， 解得  ， 解得 ∴   综上，（） （3）∵AB∥PQ，∴△EDQ∽△ADB  又以Q、D、E为顶点的三角形与相似， ∴△ADB与相似  ∵∠BAC公共，又∠ABD≠∠ABC ∴ ∠ABD=∠ACB   ∴  即 由（2）知， ∴ 得 所以，当为4时，以Q、D、E为顶点的三角形与相似．

解题思路 （1）连接AQ，由平行四边形的判定定理可得出四边形ABPQ是平行四边形，进而可得出△ADQ∽△CDB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点P在边BC上或点P在边BC的延长线上两种情况讨论即可；
（3）先由相似三角形的判定定理得出△EDQ∽△ADB，△ADB∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可求出BP的长．