这道初中数学题的正确答案为：

（1）∠APC．     （2）证明：如图5．  ∵CA=CP， ∴∠1=∠2=． ∴∠3=∠BAC－∠1==． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB==． ∴∠4=∠ACB－∠5==． ∴∠3=∠4． 即∠BAP=∠PCB．                        （3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，连接PM（如图6）． ∵PC=AC，AB=AC， ∴PC=AB． 在△ABP和△CPM中，            AB=CP， ∠3=∠4， AP=CM， ∴△ABP≌△CPM． ∴∠6=∠7， BP=PM． ∴∠8=∠9． ∵∠6=∠ABC－∠8，∠7=∠9－∠4， ∴∠ABC－∠8=∠9－∠4． 即（）－∠8=∠9－（）． ∴ ∠8＋∠9=． ∴2∠8=． ∴∠8=． 即∠PBC=．                          解法二：作点P关于BC的对称点N， 连接PN、AN、BN和CN（如图7）．  则△PBC和△NBC关于BC所在直线对称． ∴△PBC≌△NBC． ∴BP=BN，CP=CN， ∠4=∠6=，∠7=∠8． ∴∠ACN=∠5＋∠4＋∠6 ==． ∵PC=AC， ∴AC=NC． ∴△CAN为等边三角形． ∴AN=AC，∠NAC=． ∵AB=AC， ∴AN=AB． ∵∠PAN=∠PAC－∠NAC=（）－=， ∴∠PAN=∠3． 在△ABP和△ANP中，            AB=AN， ∠3=∠PAN， AP=AP， ∴△ABP≌△ANP． ∴PB=PN． ∴△PBN为等边三角形． ∴∠PBN=． ∴∠7=∠PBN =． 即∠PBC=．

解题思路 (1)由PC=AC，根据等腰三角形的特征即可表示出∠APC；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和可分别用含代数式表示出∠BAP与∠PCB即可得到结果；
（3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，连接PM（如图6）
先得到△ABP≌△CPM，再根据全等三角形的对应边、对应角相等推出含的方程即可求出∠PBC。
解法二：作点P关于BC的对称点N，连接PN、AN、BN和CN（如图7）．
根据对称性可得△PBC≌△NBC，再根据全等三角形的对应边相等即可推出△CAN为等边三角形，从而得到△ABP≌△ANP，推出△PBN为等边三角形，即可求出∠PBC。