这道初中数学题的正确答案为：

（1）AF=BD，证明见解题思路（2）AF=BD仍然成立（3）Ⅰ．AF+BF′=AB，证明见解题思路Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，证明见解题思路

解题思路 解：（1）AF=BD。证明如下：
∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）。
同理知，DC=CF，∠DCF=60°。
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF。
在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，
∴△BCD≌△ACF（SAS）。∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）。
（2）AF=BD仍然成立。
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB。证明如下：
由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF。
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD。
∴AF+BF′=BD+AD=AB。
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′。证明如下：
在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BC F′=∠ACD，F′C=DC，
∴△BCF′≌△ACD（SAS）。∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）。
又由（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′。
（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD。
（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD。
（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB。
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′：通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′