这道初中数学题的正确答案为：

C。

解题思路 直接根据三角形中位线定理进行解答即可：

如图所示：∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，
∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位线。∴h₁=2OC。
同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，
设B′点的最大高度为h₂，
则h₂=2OC。∴h₁=h₂。故选C。