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如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.(1)线段B...
2022-12-24 01:43
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数学
1405
1
4
这道
初中
数学的题目是:
如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;
(2)求证:BG
2
﹣GE
2
=EA
2
.
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伊诺尔
1楼-- · 2022-12-24 01:53
这道
初中
数学题的正确答案为:
解:(1)线段BH与AC相等。证明如下:
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,
∴∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,
∴DB=DC,∠ABE=∠DCA,
在△DBH和△DCA中,∵∠DBH=∠DCA,BD=CD,∠BDH=∠CDA,
∴△DBH≌△DCA(ASA)。∴BH=AC。
(2)证明:连接CG,
∵F为BC的中点,DB=DC,∴DF垂直平分BC。∴BG=CG。
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB。
在△ABE和△CBE中,
∵∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠CBE=∠ABE,
∴△ABE≌△CBE(ASA)。∴EC=EA。
在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG
2
﹣GE
2
=EC
2
。
∴BG
2
﹣GE
2
=EA
2
。
解题思路
(1)根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC,∠ABE=∠DCA,推出DB=CD,根据ASA证出△DBH≌△DCA即可。
(2)根据DB=DC和F为BC中点,得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE,在Rt△CGE中,由勾股定理即可推出。
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∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,
∴∠BCD=45°=∠ABC,∠A+∠DCA=90°,∠A+∠ABE=90°,
∴DB=DC,∠ABE=∠DCA,
在△DBH和△DCA中,∵∠DBH=∠DCA,BD=CD,∠BDH=∠CDA,
∴△DBH≌△DCA(ASA)。∴BH=AC。
(2)证明:连接CG,
∵F为BC的中点,DB=DC,∴DF垂直平分BC。∴BG=CG。
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB。
在△ABE和△CBE中,
∵∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠CBE=∠ABE,
∴△ABE≌△CBE(ASA)。∴EC=EA。
在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2﹣GE2=EC2。
∴BG2﹣GE2=EA2。
(2)根据DB=DC和F为BC中点,得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE,在Rt△CGE中,由勾股定理即可推出。
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