问题背景:在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为、、,求这个三角形的面积. 小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图①所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积. (1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上.____ ▲_______ (2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为a、2a、a(a>0),请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC,并求出它的面积. (3)若△ABC三边的长分别为、、2 (m>0,n>0,且m≠n),试运用构图法求出这三角形的面积. |
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(2)如图:
S△ABC=2a×4a-a×2a-×2a×2a-a×4a=3a2;……2分
(3)解:构造△ABC所示,
S△ABC=3m×4n-×m×4n-×3m×2n-×2m×2n=5mn.……3分
(1)△ABC的面积=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5;
(2)a是直角边长为a,2a的直角三角形的斜边;2a是直角边长为2a,2a的直角三角形的斜边;a是直角边长为a,4a的直角三角形的斜边,把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积;
(3)结合(1),(2)易得此三角形的三边分别是直角边长为m,4n的直角三角形的斜边;直角边长为3m,2n的直角三角形的斜边;直角边长为2m,2n的直角三角形的斜边.同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积.
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