相似多边形的性质

（1）问题探究如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠...

2022-12-24 11:40发布

站内问答 / 数学
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这道初中数学的题目是：
（1）问题探究
如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C
作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．
（2）拓展延伸
①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在
图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）
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1条回答
走走
1楼-- · 2022-12-24 11:52
这道初中数学题的正确答案为：
解：（1）D1M=D2N。证明如下：
∵∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°。
∵∠AHK=∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠HAC=90°。
∴∠D1CK=∠HAC。
在△ACH和△CD1M中，∠D1CK=∠HAC，∠AHC="∠C" M D1=90°，AC="C" D1，
∴△ACH≌△CD1M（AAS）。∴D1M=CH。
同理可证D2N=CH。
∴D1M=D2N。
（2）①D1M=D2N成立。证明如下：
过点C作CG⊥AB，垂足为点G，

∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°，
∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°，∠AH1C=∠ACD1，
∴∠H1AC=∠D1CM。
在△ACG和△CD1M中，∠H1AC=∠D1CM，∠AGC="∠C" M D1=90°，AC="C" D1，
∴△ACG≌△CD1M（AAS）。∴CG=D1M。
同理可证CG=D2N。
∴D1M=D2N。
②作图如下：

D1M=D2N还成立。
解题思路 （1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH，同理可证D2N=CH，从而得证。
（2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M，同理可证CG=D2N，从而得证。
②结论仍然成立，与①的证明方法相同。

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