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相似多边形的性质
已知四边形ABCD,E是CD上的一点,连接AE、BE.(1)给出四个条件: ① AE平分∠BAD,② BE平分∠ABC, ③ AE⊥EB,④ AB=AD+BC....
2022-12-23 15:19
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数学
1604
1
4
这道
初中
数学的题目是:
已知四边形ABCD,E是CD上的一点,连接AE、BE.(1)给出四个条件: ① AE平分∠BAD,② BE平分∠ABC, ③ AE⊥EB,④ AB=AD+BC.
请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD∥BC的正确命题,并加以证明;
(2)请你判断命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是否正确,并说明理由.
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xysgod
1楼-- · 2022-12-23 15:26
这道
初中
数学题的正确答案为:
(1)见解题思路(2)不正确,理由见解题思路
解题思路
(1)如: ①②④
AD∥BC …… 1分
证明:在AB上取点M,使AM=AD,连结EM
, …… 1分
∵ AE平分∠BAD ∴∠MAE=∠DAE
又∵AM=AD AE=AE, ∴ △AEM≌△AED
∴ ∠D=∠AME …… 1分
又∵ AB=AD+BC ∴ MB=BC, ∴△BEM≌△BCE
∠C=∠BME …… 1分
故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°∴ AD∥BC …… 2分
(2)不正确 …… 1分
作等边三角形ABM
AE平分∠BAM,BE平分∠ABM
且AE、BE交于E,连结EM,则EM⊥AB,过E作ED∥AB交
AM于D,交BM与C,则E是CD的中点而AD和BC相交于点M
∴ 命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是不正确的. …3分
(1)观察题中给定条件,由①②④可推出AD∥BC,只要在AB上取点M,使AD=AM,即可证△AEM≌△AED,△BEM≌△BCE,并能得到∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°,从而得到AD∥BC.
(2)由①②③不能推得AD∥BC,证明即可.
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证明:在AB上取点M,使AM=AD,连结EM, …… 1分
∵ AE平分∠BAD ∴∠MAE=∠DAE
又∵AM=AD AE=AE, ∴ △AEM≌△AED
∴ ∠D=∠AME …… 1分
又∵ AB=AD+BC ∴ MB=BC, ∴△BEM≌△BCE
∠C=∠BME …… 1分
故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°∴ AD∥BC …… 2分
(2)不正确 …… 1分
作等边三角形ABM
AE平分∠BAM,BE平分∠ABM
且AE、BE交于E,连结EM,则EM⊥AB,过E作ED∥AB交
AM于D,交BM与C,则E是CD的中点而AD和BC相交于点M
∴ 命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC”是不正确的. …3分
(1)观察题中给定条件,由①②④可推出AD∥BC,只要在AB上取点M,使AD=AM,即可证△AEM≌△AED,△BEM≌△BCE,并能得到∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°,从而得到AD∥BC.
(2)由①②③不能推得AD∥BC,证明即可.
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