这道初中数学题的正确答案为：

（1）∠A+∠D=∠C+∠B（2）6个（3）45°（4）2∠P=∠D+∠B

解题思路 （1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，   2分
∴∠A+∠D=∠C+∠B；    
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个；                                      2分     
（写到3个得1分）
（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②     
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P=∠D+∠B，                        
又∵∠D=50°，∠B="40°"  ∴2∠P=50°+40°，
∴∠P=45°；                                                  3分          
（4）关系：2∠P=∠D+∠B．                                          2分
（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②，可得2∠P=∠D+∠B，进而求出∠P的度数．
（4）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求证