相似多边形的性质

如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于...

2022-12-24 22:43发布

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这道初中数学的题目是：
如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）求正方形ABCD的面积；
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3
表示正方形ABCD的面积S．
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1条回答
三德子
1楼-- · 2022-12-24 22:56
这道初中数学题的正确答案为：
解：（1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，
∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。
（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。
又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。
同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。
∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4××2×1+1+1=5。
（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，
由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×（h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22．
解题思路 全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。
【分析】（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。
（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF即可得出结论。
（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知
S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，从而得出结论。

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