问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题: ①如图1,O是正三角形ABC的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON = 120°,则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一. ②如图2,O是正方形ABCD的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON = 90°,则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一. 然后运用类比的思想提出了如下的命题: ③如图3,O是正五边形ABCDE的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON = 72°,则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一. 任务要求 (1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;(说明:选①做对的得5分,选②做对的得4分,选③做对的得6分) (2)请你继续完成下面的探索: 如图④,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,O是中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON等于多少度时,则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一?(不要求证明) 解:(1)我选 . |
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所以四边形OPBQ的面积=三角形OAB的面积。所以结论成立。……………………………2分
⑵∠MON等于度……………………………3分
(1)根据正三角形中心的性质得出,∠OAP=∠OBQ以及OA=OB,以及∠APO=∠BQO,进而得出△APO≌△BOQ,再根据△OAB的面积与△ABC面积关系得出命题正确;
(2)根据规律得出一般公式即可得出∠MON的度数.
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