这道初中数学题的正确答案为：

⑴4分，证明略． ⑵4分，由⑴有，因为为的中点，所以，则，又因为，所以，则． ⑶4分．，（同样算对） 探究出一个解，得1分；探究出两个解共得2分；探究出三个解共得4分； 以下解法供参考 要使为等腰三角形，分三种情况讨论， ①为腰，且为顶角顶点； ②为腰，且为顶角顶点； ③为底． ①为腰，且为顶角顶点； 由⑵当为的中点时，可知，又易知四边形为矩形，所以，又易知，所以；又由四边形为矩形可知，，所以，从而，于是，则为等腰三角形，此时； ②为腰，且为顶角顶点； 此时，，容易得到，则点为黄金分割点，； ③为底． 此时，，容易得到，不难得到四边形为正方形，

解题思路 (1)中利用⊥
得到直角三角形AEF相似于三角形ABE，然后得到结论。
（2）中，
由⑴有，因为为的中点，所以
则可以得到

从而的得到角相等
（3）中，设，当使为
等腰三角形时，需要考查谁是腰，分类讨论得到
①为腰，且为顶角顶点；
②为腰，且为顶角顶点；
③为底．
①为腰，且为顶角顶点；
解得为