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已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD。小题1:如图1,以AB为边在△ABC外作等腰△ABE,其中AB=AE,,试证明BD=CE;小...
2022-12-25 06:19
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/
数学
1187
1
4
这道
初中
数学的题目是:
已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD。
小题1:如图1,以AB为边在△ABC外作等腰△ABE,其中AB=AE,,试证明BD=CE;
小题2:如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,AB=3,BC=4,求BD的长;
小题3:如图3,若∠ACB为锐角,作AH⊥BC于H,当BD
2
=4AH
2
+BC
2
时,问∠DAC与∠ABC有怎样的关系,直接写出结论(不需要证明)。
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1楼-- · 2022-12-25 06:27
这道
初中
数学题的正确答案为:
小题1:∵∠BAE=∠CAD
∴∠CAE=∠BAD
∵AE=AB,AC=AD,
∴△ACE≌△ABD
∴BD=CE…….………………………………………………………………5分
小题2:如图2,以A为顶点AB为边在
外作
=60°,并在AE上取AE=AB,连结BE和CE. ……………………………………7分
∵
是等边三角形,
∴AD=AC,
=60°.
∵
=60°,
∴
+
=
+
.
即
=
.
∴
≌
. ………………8分
∴EC=BD.
∵
=60°,AE=AB=3,
∴
是等边三角形,
∴
="60°," EB= 3, …………………9分
∵
,
∴
.
∵
,EB=3,BC=4,
∴EC=5.
∴BD=5. ……………………10分
小题3:
=2
. ……………………12分
附:证明:
如图3,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连结EA,EC. 并取BE的中点K,连结AK.
∵
于H, ∴
. ∵BE∥AH, ∴
.
∵
,BE=2AH, ∴
.
∵
, ∴EC=BD.
∵K为BE的中点,BE=2AH, ∴BK=AH.
∵BK∥AH, ∴四边形AKBH为平行四边形.
又∵
, ∴四边形AKBH为矩形. ∴
.
∴AK是BE的垂直平分线. ∴AB=AE.
∵AB=AE,EC=BD,AC=AD, ∴
≌
.
∴
. ∴
.
即
. ∵
,
为锐角, ∴
.
∵AB=AE, ∴
. ∴
. ∴
=2
.
∴
=2
解题思路
(1)由AC=AD得∠D=∠ACD,由平行四边形的性质得∠D=∠ABC,在△ACD中,由内角和定理求解;
(2)如图2,在△ABC外作等边△BAE,连接CE,利用旋转法证明△EAC≌△BAD,可证∠EBC=90°,BE=AB=3,在Rt△BCE中,由勾股定理求CE,由三角形全等得BD=CE;
(3)∠DAC=2∠ABC成立,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK,仿照(2)利用旋转法证明△EAC≌△BAD,利用内角和定理证明结论.
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小题1:∵∠BAE=∠CAD
∴∠CAE=∠BAD
∵AE=AB,AC=AD,
∴△ACE≌△ABD
∴BD=CE…….………………………………………………………………5分
小题2:如图2,以A为顶点AB为边在外作=60°,并在AE上取AE=AB,连结BE和CE. ……………………………………7分
∵是等边三角形,
∴AD=AC,=60°.
∵=60°,
∴+=+.
即=.
∴≌. ………………8分
∴EC=BD.
∵=60°,AE=AB=3,
∴是等边三角形,
∴="60°," EB= 3, …………………9分
∵,
∴.
∵,EB=3,BC=4,
∴EC=5.
∴BD=5. ……………………10分
小题3:=2. ……………………12分
附:证明:
如图3,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连结EA,EC. 并取BE的中点K,连结AK.
∵于H, ∴. ∵BE∥AH, ∴.
∵,BE=2AH, ∴.
∵, ∴EC=BD.
∵K为BE的中点,BE=2AH, ∴BK=AH.
∵BK∥AH, ∴四边形AKBH为平行四边形.
又∵, ∴四边形AKBH为矩形. ∴.
∴AK是BE的垂直平分线. ∴AB=AE.
∵AB=AE,EC=BD,AC=AD, ∴≌.
∴. ∴.
即. ∵,为锐角, ∴.
∵AB=AE, ∴. ∴. ∴=2.
∴=2
(2)如图2,在△ABC外作等边△BAE,连接CE,利用旋转法证明△EAC≌△BAD,可证∠EBC=90°,BE=AB=3,在Rt△BCE中,由勾股定理求CE,由三角形全等得BD=CE;
(3)∠DAC=2∠ABC成立,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK,仿照(2)利用旋转法证明△EAC≌△BAD,利用内角和定理证明结论.
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