一元二次方程根与系数的关系

a、b为实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不等的实数根．（1）求证：a2-4b-8=0；（2）若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求...

2022-12-23 09:03发布

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这道初中数学的题目是：
a、b为实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不等的实数根．
（1）求证：a2-4b-8=0；
（2）若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证：该三角形必有一个内角60°；
（3）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．
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1条回答
香雪螺
1楼-- · 2022-12-23 09:25
这道初中数学题的正确答案为：
证明：（1）由原方程得：x2+ax+b-2=0①，x2+ax+b+2=0②，
两方程的判别式分别为：△1=a2-4b+8，△2=a2-4b-8，
∵原方程有三个根，∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，
即△1，△2中必有一个大于0，一个等于0，比较△1，△2，显然△1＞△2，
∴△1＞0，△2=0，
即a2-4b-8=0；

（2）设方程①的两根为x1，x2，方程②的根为x3，则x1+x2+x3=180°，
∵x1+x2=-a，x3=-
a
2
，
∴x1+x2+x3=-
3
2
a=180°，
∴a=-120°，
∴x3=-
a
2
=60°．
故该三角形中有一个内角为60°；

（3）方程①中的两根x1，x2必有一个大于方程②中的x3，而另一个小于x3，
∴可以设x1＞x3＞x2，则由已知得：x12-x22=x32，即（x1+x2）（x1-x2）=x32．
∴-a•
解题思路 a2

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