这道初中数学题的正确答案为：

（1）∵α、β为方程x2-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根， ∴判别式△=（p+q+1）2-4p=（p+q-1）2+4q≥0， 且α+β=p+q+1，αβ=p， 于是p=αβ， q=α+β-p-1=α+β-αβ-1； （2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0）， 又α≤β， ∴a≤1≤β； （3）若使p+q= 5 4 成立，只需α+β=p+q+1= 9 4 ， ①当点M（α，β）在BC边上运动时， 由B（ 1 2 ，1），C（1，1）， 得 1 2 ≤α≤1，β=1， 而α= 9 4 -β= 9 4 -1= 5 4 ＞1， 故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（ 5 4 ，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点 ②当点M（α，β）在AC边上运动时， 由A（1，2），C（1，1）， 得a=1，1≤β≤2， 此时β= 9 4 -α= 9 4 -1= 5 4 ， 又因为1＜ 5 4 ＜2， 故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， 5 4 ）； ③当点M（α，β）在AB边上运动时， 由A（1，2），B（ 1 2 ，1）， 得 1 2 ≤α≤1，1≤β≤2， 由平面几何知识得 1-α 1- 1 2 = 2-β 2-1 ， 于是β=2α， 由 β=2α α+β= 9 4 解得α= 3 4 ，β= 3 2 ， 又因为 1 2 ＜ 3 4 ＜1，1＜ 3 2 ＜2， 故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ 3 4 ， 3 2 ）． 综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1， 5 4 ）和点（ 3 4 ， 3 2 ），使p+q= 5 4 成立．

解题思路 54