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一元二次方程根与系数的关系
已知关于x的方程ax2+bx+c=0,甲、乙两人做游戏:他们轮流确定实数a,b,c(如甲令b=1,乙令a=-2,甲再令c=10),让甲先确定数,如果方程至少有一...
2022-12-24 20:34
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站内问答
/
数学
1073
1
5
这道
初中
数学的题目是:
已知关于x的方程ax
2
+bx+c=0,甲、乙两人做游戏:他们轮流确定实数a,b,c(如甲令b=1,乙令a=-2,甲再令c=10),让甲先确定数,如果方程至少有一个解x
0
,满足-1≤x
0
≤1,那么乙得胜;反之,则甲得胜.
(1)若a,b,c只能取非零实数,甲是否有必胜策略?为什么?
(2)若a,b,c可以取零,甲乙两人中谁有必胜策略?为什么?
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看不清?
×
付费偷看金额在0.1-10元之间
确定
1条回答
老树根
1楼-- · 2022-12-24 20:55
这道
初中
数学题的正确答案为:
(1)如果a,b,c是非零实数,那么甲有必胜策略:甲先选b=1,不论乙选a或c,甲总可以再选c或a,使得△=1-4ac<0,从而方程ax
2
+bx+c=0无解,即对于任意x,y≠0,所以甲必胜;
(2)如果a,b,c可以取零,那么甲乙都没有必胜策略:
①若甲先选a=0,乙可选c≠0,甲再选b=0,这时方程ax
2
+bx+c=0无解,甲获胜;若甲先选a=0,乙可选c=10,甲再选b=1,这时方程ax
2
+bx+c=0的解为x=-10,甲获胜;
②若甲先选c≠0,则乙可令a=-c,设y=ax
2
+bx+c,此时x=-1,y=a+b-a;x=1,y=a-b-a,(a+b-a)(a-b-a)=-b
2
≤0,说明图象与x轴的交点在-1和1之间,所以方程ax
2
+bx+c=0必有在-1≤x≤1内的实根,即甲不论再选b为何值,乙总可以获胜.
解题思路 该题暂无解题思路
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(2)如果a,b,c可以取零,那么甲乙都没有必胜策略:
①若甲先选a=0,乙可选c≠0,甲再选b=0,这时方程ax2+bx+c=0无解,甲获胜;若甲先选a=0,乙可选c=10,甲再选b=1,这时方程ax2+bx+c=0的解为x=-10,甲获胜;
②若甲先选c≠0,则乙可令a=-c,设y=ax2+bx+c,此时x=-1,y=a+b-a;x=1,y=a-b-a,(a+b-a)(a-b-a)=-b2≤0,说明图象与x轴的交点在-1和1之间,所以方程ax2+bx+c=0必有在-1≤x≤1内的实根,即甲不论再选b为何值,乙总可以获胜.
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