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相似多边形的性质
如图,在△ABC中,∠BAC=120°,P为△ABC内一点,求证:PA+PB+PC>AB+AC....
2022-12-24 09:17
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数学
1396
1
4
这道
初中
数学的题目是:
如图,在△ABC中,∠BAC=120°,P为△ABC内一点,求证:PA+PB+PC>AB+AC.
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中分气质美女
1楼-- · 2022-12-24 09:27
这道
初中
数学题的正确答案为:
证明:以AC为边向外作正△ACE,则E在BA延长线上,
且BE=AB+AC,再以AP为边作正△APQ,
使B、Q位于AP两旁,连结QE
在△APC与△AQE中,
∵∠1+∠2=∠3+∠1=60°
∴∠2=∠3,又∵AP=AQ,AC=AE,
∴△APC≌△AQE,∴QE=PC,
∵BP+PQ+QE>BE,∴BP+AP+CP>AB+AC
解题思路
把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′,再由图形旋转的性质可得出△APP′为等边三角形,再由∠BAC=120°可知∠BAC′=120°+60°=180°、即B,A,C′共线,根据三角形的三边关系即可得出结论.
解:把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′,如图
∴∠CAC′=∠PAP′=60°,AC=AC′,AP=AP′,PC=P′C′,
∴△APP′为等边三角形,
∴PP′=AP,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAC′=120°+60°=180°,
即B,A,C′共线,
∴BC′<BP+PP′+P′C,
即AB+AC<AP+BP+CP.
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且BE=AB+AC,再以AP为边作正△APQ,
使B、Q位于AP两旁,连结QE
在△APC与△AQE中,
∵∠1+∠2=∠3+∠1=60°
∴∠2=∠3,又∵AP=AQ,AC=AE,
∴△APC≌△AQE,∴QE=PC,
∵BP+PQ+QE>BE,∴BP+AP+CP>AB+AC
解:把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′,如图
∴∠CAC′=∠PAP′=60°,AC=AC′,AP=AP′,PC=P′C′,
∴△APP′为等边三角形,
∴PP′=AP,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAC′=120°+60°=180°,
即B,A,C′共线,
∴BC′<BP+PP′+P′C,
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