一元二次方程根与系数的关系

对a＞b＞c＞0，作二次方程x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；（2）若方程有实根x...

2022-12-24 04:03发布

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这道初中数学的题目是：
对a＞b＞c＞0，作二次方程x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．
（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
（2）若方程有实根x0，求证：a＞x0＞b+c；
（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c．
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1条回答
yingtao
1楼-- · 2022-12-24 04:25
这道初中数学题的正确答案为：
（1）由方程有实根得，△=（a+b+c）2-4（ab+bc+ca）≥0
即0≤a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca=a（a-b-c）-b（a+c-b）-c（a+b-c）＜a（a-b-c），由a＞0，得a-b-c＞0，
即a＞b+c．所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．（4分）

（2）设f（x）=x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca，则f（b+c）=bc＞0，f（a）=bc＞0，
且f（
a+b+c
2
）=＜0由（1）知b+c＜
a+b+c
2
＜a，
所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a＞x0＞b+c．（7分）

（3）由根与系数关系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，
得a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=225-108=117＜112．由（2）知a＞9，
故得92＜a2＜112，∴a=10．∴b+c=5，bc=4，由b＞c，解得b=4，c=1，
∴a=10，b=4，c=1．（10分）
解题思路 a+b+c2

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