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如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,点F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CD.连结DE,DF,EF.在此运动...
2022-12-23 02:43
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/
数学
1677
1
5
这道
初中
数学的题目是:
如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,点F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CD.连结DE,DF,EF. 在此运动变化的过程中,下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;
②四边形CDFE不可能为正方形;
③DE长度的最小值为4;
④四边形CDFE的面积保持不变;
⑤△CDE面积的最大值为8.
其中正确的结论是_____________.
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water221638
1楼-- · 2022-12-23 02:57
这道
初中
数学题的正确答案为:
①④⑤
解题思路
解;连接CF.
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB,
∵AD=CE,
∴△ADF≌△CEF,
∴EF=DF,∠CFE=∠AFD,
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°,
∴△EDF是等腰直角三角形,
∴①正确;
当D、E分别为AC,BC的中点时,四边形CDEF是正方形,
因此②错误;
∵△ADF≌△CEF,
∴S
△
CEF
=S
△
ADF
,
∴④是正确的;
∵△DEF是等腰直角三角形,
∴当DE最小时,DF也最小,
即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=
BC=4,
∴DE=
DF=4
,
∴③错误;
当△CEF面积最大时,由④知,此时△DEF的面积最小,此时,
S
△
CDE
=S
四边形CEFD
-S
△
DEF
=S
△
AFC
-S
△
DEF
=16-8=8,
∴⑤正确.综上所述正确的有①④⑤.
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∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB,
∵AD=CE,
∴△ADF≌△CEF,
∴EF=DF,∠CFE=∠AFD,
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°,
∴△EDF是等腰直角三角形,
∴①正确;
当D、E分别为AC,BC的中点时,四边形CDEF是正方形,
因此②错误;
∵△ADF≌△CEF,
∴S△CEF=S△ADF,
∴④是正确的;
∵△DEF是等腰直角三角形,
∴当DE最小时,DF也最小,
即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=BC=4,
∴DE=DF=4,
∴③错误;
当△CEF面积最大时,由④知,此时△DEF的面积最小,此时,
S△CDE=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8,
∴⑤正确.综上所述正确的有①④⑤.
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