(满分l2分)学完“等边三角形”这一节后,老师布置了一道思考题: 如图,点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q. 求证:∠BQM=60°. (1)请你完成这道思考题; (2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如: ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题? ②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°? ③若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,是否仍能得到∠BQM=60°? 请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:①______;②______;③______.并对②,③的判断,选择一个给出证明. |
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∴△ABM≌△BCN.∴∠BAM=∠CBN.
∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60° ……4分
(2)①是;②是;③否. ……7分
②的证明:如图D4-2,
∵∠ACM=∠BAN=120°,CM=AN,AC=AB,
∴△ACM≌△BAN.∴∠AMC=∠BNA.
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ∴∠NBC+∠BNA=180°-60°=l20°.
∴∠BQM=60°.
③的证明:如图D4—3,
∵BM=CN,AB=BC,
∴Rt△ABM≌Rt△BCN.
∴∠AMB=∠BNC.又∠NBM+∠BNC=90°,
∴∠QBM+∠QMB=90°.
∴∠BQM=90°,即∠BQM≠60°. ……l2分
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