一元二次方程根与系数的关系

已知关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（1）判断命题：“无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根”的真假，如果是真命题请给出证明：如果是假命题请举...

2022-12-22 12:10发布

站内问答 / 数学
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这道初中数学的题目是：
已知关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0
（1）判断命题：“无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根”的真假，如果是真命题请给出证明：如果是假命题请举一个反例．
（2）若m≠0，设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），若y=(x1+x2)2-x12•x22，当m的取值范围满足什么条件时，y≤2
m2
．
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1条回答
冰冻的心
1楼-- · 2022-12-22 12:25
这道初中数学题的正确答案为：
（1）此命题是假命题．例如，当m=0时，由已知方程得
-2x+2=0，
解得，x=1，即原方程有一个实数根；
故“无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根”是假命题；

（2）∵方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），且m≠0，
∴x1+x2=
3m+2
m
，x1•x2=
2m+2
m
，
∴y=(x1+x2)2-x12•x22=
5m+4
m
；
又∵y≤2
m2
，
∴2
m2
≤
5m+4
m
，即2|m|≤
5m+4
m
 ①，
①当m＞0时，由不等式①，得
2m2-5m-4≤0，
解得，0＜m≤
5+
57
4
；
②当m＜0时，由不等式①，得
2m2+5m+4≥0，解得，
m∈R，且m≠0，
∴m＜0．
综上可知0＜m≤
5+
57
4
或m＜0时，y≤2
m2
．
解题思路 3m+2m

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