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相似多边形的性质
已知△ABC是等腰直角三角形,∠A = 90°,D是腰AC上的一个动点,过C作CE垂直于BD或BD的延长线,垂足为E,如图.(1)若BD是AC的中线,求的值;(...
2022-12-23 23:09
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/
数学
1664
1
4
这道
初中
数学的题目是:
已知△ABC是等腰直角三角形,∠A = 90°,D是腰AC上的一个动点,过C作CE垂直于BD或BD的延长线,垂足为E,如图.
(1)若BD是AC的中线,求
的值;
(2)若BD是∠ABC的角平分线,求
的值;
(3)结合(1)、(2),试推断
的取值范围(直接写出结论,不必证明),并探究
的
值能小于
吗?若能,求出满足条件的D点的位置;若不能,说明理由
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看不清?
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付费偷看金额在0.1-10元之间
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1条回答
菇凉自有人爱
1楼-- · 2022-12-23 23:27
这道
初中
数学题的正确答案为:
解法1 设AB =" AC" = 1,CD = x,则0<x<1,BC =
,AD = 1-x.
在Rt△ABD中,BD
2
= AB
2
+ AD
2
=" 1" +(1-x)
2
= x
2
-2x + 2.
由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD,
∴
,即
,从而
,
∴
,0<x<1,
(1)若BD是AC的中线,则CD =" AD" =" x" =
,得
.
(2)若BD是∠ABC的角平分线,则
,得
,解得
,
∴
.
(3)若
,则有 3x
2
-10x + 6 = 0,解得
∈(0,1),
∴
,表明随着点D从A向C移动时,BD逐渐增大,而CE逐渐减小,的值则随着D从A向C移动而逐渐增大.
解法2 设AB =" AC" = 1,∠ABD = a,则 BC =
,∠CBE = 45°-a.
在Rt△ABD中,有
;
在Rt△BCE中,有 CE =" BC·" sin∠CBE =
sin(45°-a).
因此
.下略……
解法3 (1)∵∠A =∠E = 90°,∠ADB =∠CDE,∴△ADB∽△EDC,∴
.
由于D是中点,且AB
= AC,知AB =" 2" AD,于是 CE =" 2" DE.
在Rt△ADB中,BD =
.
在Rt△CDE中,由 CE
2
+ DE
2
= CD
2
,有
CE
2
+
CE
2
= CD
2
,于是
.
而 AD = CD,所以
.
(2)如图,延长CE、BA相交于点F.∵BE是∠ABC的平分线,且BE⊥CF,∴△CBE≌△FBE,得 CE = EF,于是CF =" 2" CE.又∠ABD +∠ADB =∠CDE +∠FCA = 90°,且∠ADB =∠CDE,
∴∠ABD =∠FCA,进而有△ABD≌△ACF,得 BD =" 2" CE,
.
(3)
的值的取值范围为
≥1.下略……
解题思路
略
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在Rt△ABD中,BD2 = AB2 + AD2 =" 1" +(1-x)2 = x2-2x + 2.
由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD,
∴,即,从而,
∴,0<x<1,
(1)若BD是AC的中线,则CD =" AD" =" x" =,得.
(2)若BD是∠ABC的角平分线,则,得,解得,
∴.
(3)若,则有 3x2-10x + 6 = 0,解得∈(0,1),
∴,表明随着点D从A向C移动时,BD逐渐增大,而CE逐渐减小,的值则随着D从A向C移动而逐渐增大.
解法2 设AB =" AC" = 1,∠ABD = a,则 BC =,∠CBE = 45°-a.
在Rt△ABD中,有;
在Rt△BCE中,有 CE =" BC·" sin∠CBE =sin(45°-a).
因此.下略……
解法3 (1)∵∠A =∠E = 90°,∠ADB =∠CDE,∴△ADB∽△EDC,∴.
由于D是中点,且AB = AC,知AB =" 2" AD,于是 CE =" 2" DE.
在Rt△ADB中,BD =.
在Rt△CDE中,由 CE2 + DE2 = CD2,有 CE2 +CE2 = CD2,于是.
而 AD = CD,所以.
(2)如图,延长CE、BA相交于点F.∵BE是∠ABC的平分线,且BE⊥CF,∴△CBE≌△FBE,得 CE = EF,于是CF =" 2" CE.又∠ABD +∠ADB =∠CDE +∠FCA = 90°,且∠ADB =∠CDE,
∴∠ABD =∠FCA,进而有△ABD≌△ACF,得 BD =" 2" CE,.
(3)的值的取值范围为≥1.下略……
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