如图,在矩形ABEF中,C、D分别是边BE、AF的中点,AB=10,AF=20,点P、Q分别是BC、CD边上的点,且AP⊥PQ.(1)证明:△ABP∽△PQC;...

2天前发布

这道初中数学的题目是:
如图,在矩形ABEF中,C、D分别是边BE、AF的中点,AB=10,AF=20,点P、Q分别是BC、CD边上的点,且AP⊥PQ.
(1)证明:△ABP△PQC;
(2)延长PQ交CF于H,求证:AP=PH
(3)在边AB上是否存在一点G,使四边形GPHD是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.魔方格
1条回答
倾听夏末
1楼-- · 2天前
这道初中数学题的正确答案为:
(1)证明:∵四边形ABEF是矩形,
∴AF=BE,AB=EF,∠BAF=∠ABE=∠AFE=∠BEF=90°.
又∵AB=10,AF=20,
∴AF=2AB,
∵C、D分别是BE、AF的中点,

魔方格
∴四边形ABCD、CDFE是全等的正方形,
∴∠PCD=90°,
∴∠B=∠PCD,∠QPC+∠PQC=90°,
∵AP⊥PQ,
∴∠APB+∠QPC=90°,
∴∠APB=∠PQC,
∴△ABP△PQC;

(2)证明:在AB上截取AM=PC,
∵四边形ABCD、CDFE是全等的正方形,
∴AB=BC,∠ECF=45°,
∴BM=BP,∠PCH=135°,
∴∠BMP=45°,
∴∠AMP=135°,
∴∠AMP=∠PCH,
∵△ABP△PQC,
∴∠BAP=∠QPC,
∵在△AMP和△PCH中,
∠MAP=∠CPH
AM=PC
∠AMP=∠PCH

∴△AMP≌△PCH(ASA),
∴AP=PH;


魔方格
(3)满足条件的点G是存在的,此时AG=BP.  
证明如下:令DG与AP的交点为M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=AB,∠DAG=∠ABP,
∵在△DAG和△ABP中,
DA=AB
∠DAG=∠ABP
AG=BP

∴△DAG≌△ABP(SAS),
∴DG=AP,∠AGD=∠BPA.
∵AP=PH,∠BAP+∠BPA=90°,
∴DG=HP,∠BAP+∠AGD=90°,
∴∠AMG=90°,
即AP⊥DG,
∵AP⊥PH,
∴DGPH,
∴四边形GPHD是平行四边形.
解题思路
∠MAP=∠CPH
AM=PC
∠AMP=∠PCH

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