问题:如图(1)在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置...

2022-06-24 03:20发布

这道初中数学的题目是:
问题:如图(1)在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及
PG
PC
的值,小聪同学的思路是延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:

魔方格

(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及
PG
PC
的值.
(2)将图(1)中的菱形BEFG恰好与菱形ABCD的边AB在同一直线上,原问题中的其它条件不变(如图(2))你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想,并加以证明.
1条回答
澶╀娇
1楼-- · 2022-06-24 03:28
这道初中数学题的正确答案为:
(1)延长GP,交CD于点H,
∵四边形ABCD与四边形BEFG是菱形,
∴CDABGF,
∴∠PDH=∠PFG,∠DHP=∠PGF,
∵P是线段DF的中点,
∴DP=PF,
在△DPH和△FGP中,
∠PDH=∠PFG
∠DHP=∠PGF
DP=PF

∴△DPH≌△FGP(AAS),
∴PH=PG,DH=GF,
∵CD=BC,GF=GB=DH,
∴CH=CG,
∴CP⊥HG,∠ABC=60°,
∴∠DCG=120°,
∴∠PCG=60°,
魔方格

∴PG:PC=tan60°=
3

∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC,
PG
PC
=
3


(2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.
证明:如图(2),延长GP交AD于点H,连接CH,CG,
∵P是线段DF的中点,
∴FP=DP,
∵ADGF,
∴∠HDP=∠GFP,
∵∠GPF=∠HPD,
∴△GFP≌△HDP(ASA),
∴GP=HP,GF=HD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°,
∵∠ABC=∠BEF=60°,菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,
∴∠GBF=60°,
∴∠HDC=∠GBF,
∵四边形BEFG是菱形,
∴GF=GB,
∴HD=GB,
∴△HDC≌△GBC,
∴CH=CG∠HCD=∠GCB,
∴PG⊥PC(到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
∵∠ABC=60°
∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°,
∵∠HCG=∠HCB+∠GCB,
∴∠HCG=120°,
∴∠GCP=60°,
PG
PC
=tan∠GCP=tan60°=
3
解题思路
∠PDH=∠PFG
∠DHP=∠PGF
DP=PF

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