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数学常识
如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数(即整数的平方),证明:(1)2a,2b,c都是整数;(2)a,b,c都是整数,并且c是平方数...
2023-06-16 03:12
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站内问答
/
数学
1360
1
4
这道
初中
数学的题目是:
如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax
2
+bx+c的值都是平方数(即整数的平方),
证明:(1)2a,2b,c都是整数;
(2)a,b,c都是整数,并且c是平方数;
(3)反过来,如(2)成立,是否对一切x的整数值,x的二次三项式ax
2
+bx+c的值都是平方数?
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看不清?
×
付费偷看金额在0.1-10元之间
确定
1条回答
冰箱^
1楼-- · 2023-06-16 03:27
这道
初中
数学题的正确答案为:
证明:(1)∵对一切x的整数值,x的二次三项式ax
2
+bx+c的值都是平方数,
∴令x=0,a•0
2
+b•0+c=c,
c是整数且是平方数,
令x=1,-1时a•1
2
+b•1+c,a•(-1)
2
+b•(-1)+c是平方数,
∴可设a•1
2
+b•1+c=m
1
2
①a•(-1)
2
+b•(-1)+c=n
1
2
②c=k
1
2
(m
1
n
1
k
1
均为整数),
①-②得:2b=m
1
2
-n
1
2
,
∴2b为整数(整数相减为依然为整数),
由①得:2a=2m
1
2
-2b-2c,
∴2a为整数,
∴2a,2b,c都是整数;
(2)(1)中已证c是整数且是平方数,
令x=2,-2时,可设a•2
2
+b•2+c=m
2
2
③a•(-2)
2
+b•(-2)+c=n
2
2
④c=k
1
2
(m
2
n
2
k
1
均为整数),
③-④得:4b=m
2
2
-n
2
2
=(m
2
+n
2
)(m
2
-n
2
)=2(2b),
∵2b为整数,
∴2(2b)为偶数,则m
2
2
-n
2
2
为偶数,
∴(m
2
+n
2
),(m
2
-n
2
)同奇同偶,
则可设(m
2
+n
2
)=2m,(m
2
-n
2
)=2n(m,n均为整数),
∴4b=2m•2n=4mn,
∴b=mn,
∴b为整数;
(3)令x=1,a=1,b=1,c=1,则ax
2
+bx+c=3,而3不是平方数.
∴不一定成立.
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∴令x=0,a•02+b•0+c=c,
c是整数且是平方数,
令x=1,-1时a•12+b•1+c,a•(-1)2+b•(-1)+c是平方数,
∴可设a•12+b•1+c=m12①a•(-1)2+b•(-1)+c=n12
②c=k12(m1n1k1均为整数),
①-②得:2b=m12-n12,
∴2b为整数(整数相减为依然为整数),
由①得:2a=2m12-2b-2c,
∴2a为整数,
∴2a,2b,c都是整数;
(2)(1)中已证c是整数且是平方数,
令x=2,-2时,可设a•22+b•2+c=m22③a•(-2)2+b•(-2)+c=n22④c=k12(m2n2k1均为整数),
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∵2b为整数,
∴2(2b)为偶数,则m22-n22为偶数,
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则可设(m2+n2)=2m,(m2-n2)=2n(m,n均为整数),
∴4b=2m•2n=4mn,
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