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有理数的乘方
已知二次方程x2-px+q=0的两根为α、β,求①以α3、β3为根的一元二次方程;②若以α3、β3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有这样的一元二次...
2023-06-10 19:21
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站内问答
/
数学
726
1
5
这道
初中
数学的题目是:
已知二次方程x
2
-px+q=0的两根为α、β,求
①以α
3
、β
3
为根的一元二次方程;
②若以α
3
、β
3
为根的一元二次方程仍是x
2
-px+q=0,求所有这样的一元二次方程.
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看不清?
×
付费偷看金额在0.1-10元之间
确定
1条回答
美丽心点
1楼-- · 2023-06-10 19:33
这道
初中
数学题的正确答案为:
①∵方程x
2
-px+q=0的两根为α、β,
∴α+β=p,αβ=q,
∴α
3
+β
3
=(α+β)(α
2
-αβ+β
2
)=(α+β)
3
-3αβ(α+β)=p
3
-3pq,
α
3
β
3
=(αβ)
3
=q
3
,
∴以α
3
、β
3
为根的一元二次方程为x
2
-(p
3
-3pq)x+q
3
=0;
②由题意,得
p
3
-3pq=p
q
3
=q
,
由q
3
=q,得q=0,q=±1,
当q=0时,p
3
=p,p=0,±1;
当q=1时,p
3
=4p,p=0,±2;
当q=-1时,p
3
=-2p,p=0.
∵当p=0,q=1时,方程x
2
+1=0无实根,
∴满足条件的方程有x
2
=0;x
2
-x=0;x
2
+x=0;x
2
-2x+1=0;x
2
+2x+1=0;x
2
-1=0.
解题思路
p
3
-3pq=p
q
3
=q
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∴α+β=p,αβ=q,
∴α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)3-3αβ(α+β)=p3-3pq,
α3β3=(αβ)3=q3,
∴以α3、β3为根的一元二次方程为x2-(p3-3pq)x+q3=0;
②由题意,得
由q3=q,得q=0,q=±1,
当q=0时,p3=p,p=0,±1;
当q=1时,p3=4p,p=0,±2;
当q=-1时,p3=-2p,p=0.
∵当p=0,q=1时,方程x2+1=0无实根,
∴满足条件的方程有x2=0;x2-x=0;x2+x=0;x2-2x+1=0;x2+2x+1=0;x2-1=0.
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