这道初中数学题的正确答案为：

当n≥3为奇数时，存在合乎要求的染法；当n≥4为偶数时，不存在所述的染法． 每3个顶点形成一个三角形，三角形的个数为Cn3个，而颜色的三三搭配也刚好有Cn3种，所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合，即形成一一对应． 我们将多边形的边与对角线都称为线段．对于每一种颜色，其余的颜色形成Cn-12种搭配，所以每种颜色的线段（边或对角线）都应出现在Cn-12个三角形中，这表明在合乎要求的染法中，各种颜色的线段条数相等．所以每种颜色的线段都应当有 C 2n n = n-1 2 条． 当n为偶数时， n-1 2 不是整数，所以不可能存在合乎条件的染法．下设n=2m+1为奇数，我们来给出一种染法，并证明它满足题中条件．自某个顶点开始，按顺时针方向将凸2m+1边形的各个顶点依次记为A1，A2，A2m+1．对于i∉{1，2，2m+1}，按mod2m+1理解顶点Ai．再将2m+1种颜色分别记为颜色1，2，2m+1． 将边AiAi+1染为颜色i，其中i=1，2，2m+1．再对每个i=1，2，2m+1，都将线段（对角线）Ai-kAi+1+k染为颜色i， 其中k=1，2，m-1．于是每种颜色的线段都刚好有m条．注意，在我们的染色方法之下，线段Ai1Aj1与Ai2Aj2同色， 当且仅当i1+j1≡i2+j2（mod2m+1）．① 因此，对任何i≠j（mod2m+1），任何k≠0（mod2m+1），线段AiAj都不与Ai+kAj+k同色．换言之， 如果i1-j1≡i2-j2（mod2m+1）．② 则线段Ai1Aj1都不与Ai2Aj2同色． 任取两个三角形△Ai1Aj1Ak1和△Ai2Aj2Ak2，如果它们之间至多只有一条边同色，当然它们不对应相同的颜色组合．如果它们之间有两条边分别同色，我们来证明第3条边必不同颜色．为确定起见，不妨设Ai1Aj1与Ai2Aj2同色． 情形1：如果Aj1Ak1与Aj2Ak2也同色，则由①知i1+j1≡i2+j2（mod2m+1），j1+k1≡j2+k2（mod2m+1）， 将二式相减，得f（A）=f（B），故由②知Ak1Ai1不与Ak2Ai2同色． 情形2：如果Ai1Ak1与Ai2Ak2也同色，则亦由①知i1+j1≡i2+j2（mod2m+1），i1+k1≡i2+k2（mod2m+1）， 将二式相减，亦得j1-k1≡j2-k2（mod2m+1），亦由②知Aj1Ak1与Aj2Ak2不同色．总之，△Ai1Aj1Ak1与△Ai2Aj2Ak2对应不同的颜色组合．

解题思路

C

2n

n