逻辑推理

在m（m≥2）个不同数的排列P1P2P3…Pm中，若1≤i＜j≤m时，Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数...

2023-05-29 15:47发布

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这道初中数学的题目是：
在m（m≥2）个不同数的排列P1P2P3…Pm中，若1≤i＜j≤m时，Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n-1）…321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1=1，排列4321的逆序数a3=6．
（1）求a4、a5，并写出an的表达式（用n表示，不要求证明）；
（2）令bn=
an
an+1
+
an+1
an
-2，求b1+b2+…bn并证明b1+b2+…bn＜3，n=1，2，…．
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1条回答
冰王子
1楼-- · 2023-05-29 15:56
这道初中数学题的正确答案为：
（1）由排列21的逆序数a1=1，排列4321的逆序数a3=6，得a4=4+3+2+1=10，a5=5+4+3+2+1=15，
∴an=n+（n-1）+…+2+1=
n(n+1)
2
；

（2）∵an=n+（n-1）+…+2+1=
n(n+1)
2
，bn=
an
an+1
+
an+1
an
-2，
∴bn=
an
an+1
+
an+1
an
-2=
n
n+2
+
n+2
n
-2=
2
n
-
2
n+2
，
∴b1+b2+…+bn=2[（
1
1
-
1
3
）+（
1
2
-
1
4
）+…+（
1
n
-
1
n+2
）]=3-
2
n+1
-
2
n+2
；
又∵n=1，2，…，
∴b1+b2+…bn=3-
2
n+1
-
2
n+2
＜3．
解题思路 n(n+1)2

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