不等式的定义

通过观察a2+b2-2ab=（a-b）2≥0可知：a2+b22≥ab，与此类比，当a≥0，b≥0时，a+b2≥______（要求填写），你观察得到的这个不等式是...

2023-05-30 18:16发布

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这道初中数学的题目是：
通过观察a2+b2-2ab=（a-b）2≥0可知：
a2+b2
2
≥ab，与此类比，当a≥0，b≥0时，
a+b
2
≥______（要求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用．请你运用上述不等式解决下列问题：
（1）求证：当x＞0时，x+
1
x
≥2；
（2）求证：当x＞1时，x+
1
x-1
≥3；
（3）2x2+
1
x2+1
的最小值是______．
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1条回答
荒魂散
1楼-- · 2023-05-30 18:23
这道初中数学题的正确答案为：
∵（
a
）2+（
b
）2-2
ab
=（
a
-
b
）2≥0，
即a+b-2
ab
≥0，
∴
a+b
2
≥
ab
；

（1）证明：∵x＞0，
∴x+
1
x
≥2
x•
1
x
=2，
即x+
1
x
≥2；

（2）证明：∵x＞1，
∴x+
1
x-1
=（x-1）+
1
x-1
+1≥2
(x-1)•
1
x-1
+1=2+1=3，
即x+
1
x-1
≥3；

（3）2x2+
1
x2+1
=2（x2+1）+
1
x2+1
-2≥2
2(x2+1)•
1
x2+1
-2=2
2
-2，
∴2x2+
1
x2+1
的最小值为2
2
-2．
故为：
ab
，（4）2
2
-2．
解题思路 a

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