相似多边形的性质

如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE,△AMN是等边三角形：（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD...

2022-12-25 19:01发布

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这道初中数学的题目是：
如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE,△AMN是等边三角形：
（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；
（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）.
1条回答
康.雪候鸟
2022-12-25 19:27
这道初中数学题的正确答案为：
（1）CD=BE．理由如下:
∵△ABC和△ADE为等边三角形  
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o
∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，
∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，   
∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD
∴CD=BE                    
（2）△AMN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE ≌ △ACD，    ∴∠ABE=∠ACD．
∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=CN
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°
∴△AMN是等边三角形．
解题思路 可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．
可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．

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