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)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:①∠BOC=90&o...
2022-12-24 23:18
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/
数学
565
1
4
这道
初中
数学的题目是:
)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:
①∠BOC=90º+∠A; ②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;
③设OD=m,AE+AF=n,则S
△AEF
=mn; ④EF是△ABC的中位线.
其中正确的结论是
_____________
.
1条回答
辛苦
2022-12-24 23:28
这道
初中
数学题的正确答案为:
①②
解题思路
解答:解:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC=
∠ABC,∠OCB=
∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°-
∠A,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+
∠A;故①正确;
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,
∴EB=EO,FO=FC,
∴EF=EO+FO=BE+CF,
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切,故②正确.
过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA,
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴ON=OD=OM=m,
∴S
△
AEF
=S
△
AOE
+S
△
AOF
=
AE?OM+
AF?OD=
OD?(AE+AF)=
mn;故③错误;
∵EF∥BC,
∴∠BOE=∠CBO,∠COF=∠BCO,
又,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO,
∴∠EBO=∠BOE,∠FCO=∠COF,
∴EB=EO,FC=FO,
假设EF是△ABC的中位线,则EA=EB,FA=FC,
∴EO=EA,FO=FA,
∴EA+FA=EO+FO=EF,
推出在△AEF中两边之和等于第三边,不成立,所以④结论不正确
∴其中正确的结论是①②.
故为:①②.
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解答:解:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+∠A;故①正确;
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,
∴EB=EO,FO=FC,
∴EF=EO+FO=BE+CF,
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切,故②正确.
过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA,
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴ON=OD=OM=m,
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE?OM+AF?OD=OD?(AE+AF)=mn;故③错误;
∵EF∥BC,
∴∠BOE=∠CBO,∠COF=∠BCO,
又,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO,
∴∠EBO=∠BOE,∠FCO=∠COF,
∴EB=EO,FC=FO,
假设EF是△ABC的中位线,则EA=EB,FA=FC,
∴EO=EA,FO=FA,
∴EA+FA=EO+FO=EF,
推出在△AEF中两边之和等于第三边,不成立,所以④结论不正确
∴其中正确的结论是①②.
故为:①②.
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