这道初中数学题的正确答案为：

设 p(p+1)+2 2 =a2， 所以p（p+1）=2a2-2=2（a+1）（a-1）， 因为p为质数，所以①p=a-1或者②p=a+1或者③p=2， ①当p=a-1时，设a-1=kp，（k为≥1的正整数）所以a=kp+1， 所以p（p+1）=2kp（kp+2）， 所以p+1=2k（kp+2）， 所以（2k2-1）p=1-4k， 因为（2k2-1）＞0，所以（2k2-1）p， 又因为1-4k＜0， 所以（2k2-1）p=1-4k不可能成立． ②当p=a+1时，设a+1=kp，（k为≥1的正整数）所以a=kp-1． 所以p（p+1）=2kp（kp-2）， 所以p+1=2k（kp-2）， 所以（2k2-1）p=1+4k， 所以2k2-1＜1+4k． 因为当k≥3时，2k2-1≥6k-1=4k+1+2（k-1）＞1+4k 所以k=1或者2， 当k=1时，（2k2-1）p=1+4k≥p=5， 当k=2时，（2k2-1）p=1+4k≥7p=9，所以不存在质数p． ③当p=2时，因为p是质数． 所以p=2， 综上所述，p=2或者p=5， 验算： 当p=2时， p(p+1)+2 2 =4=22 当p=5时， p(p+1)+2 2 =16=42． 故为2或5．

解题思路 p(p+1)+22