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数学常识
(1)证明:由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数;(2)试说明,存在最左边2009位都是1的形如.11…112009个1*…**的自然数(其中*代...
2023-06-16 19:45
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/
数学
1427
1
5
这道
初中
数学的题目是:
(1)证明:由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数;
(2)试说明,存在最左边2009位都是1的形如
.
11…11
2009个1
*…**
的自然数(其中*代表阿拉伯数码)是完全平方数.
1条回答
机器猫
2023-06-16 19:56
这道
初中
数学题的正确答案为:
(1)当数的末尾有偶数个0时,只讨论2009个1组成的数位完全平方数即可,
设为(10a+1)
2
=100a
2
+20a+1=20a(5a+1)+1,
或(10a+9)
2
=100a
2
+180a+81=20(5a+9a+4)+1,
由以上可知其十位数一定是偶数,因此2009个1组成的数不是完全平方数;
当数的末尾有奇数个0时,只讨论2009个1和1个0组成的数即可,
设为10k
2
,可其末尾至少有两个0,因此2009个1和1个0组成的数不是完全平方数;
综上所知,由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数;
(2)因为1010
2
=11110,101010
2
=1111110,…,
设11…11
(2009个1)
****=11…11
(2008个1)
0…0+1****=(1010…10+k)
2
(1004个10),
而2020…20k+k
2
=1****一定存在一个数k,例如k=5,可以使其成为完全平方数.
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设为(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1,
或(10a+9)2=100a2+180a+81=20(5a+9a+4)+1,
由以上可知其十位数一定是偶数,因此2009个1组成的数不是完全平方数;
当数的末尾有奇数个0时,只讨论2009个1和1个0组成的数即可,
设为10k2,可其末尾至少有两个0,因此2009个1和1个0组成的数不是完全平方数;
综上所知,由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数;
(2)因为10102=11110,1010102=1111110,…,
设11…11(2009个1)****=11…11(2008个1)0…0+1****=(1010…10+k)2(1004个10),
而2020…20k+k2=1****一定存在一个数k,例如k=5,可以使其成为完全平方数.
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