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一、选择题
1.(2014•山东烟台,第7题3分)如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=3,梯形中位线EF与对角线BD相交于点M,且BD⊥CD,则MF的长为()
A.1.5 B.3 C.3.5 D.4.5
考点:等腰梯形的性质,直角三角形中30°锐角的性质,梯形及三角形的中位线.
分析:根据等腰梯形的性质,可得∠ABC与∠C的关系,∠ABD与∠ADB的关系,根据等腰三角形的性质,可得∠ABD与∠ADB的关系,根据直角三角形的性质,可得BC的长,再根据三角形的中位线,可得答案.
解答:已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=3,
∴∠ABC=∠C,∠ABD=∠ADB,∠ADB=∠BDC.∴∠ABD=∠CBD,∠C=2∠DBC.
∵BD⊥CD,∴∠BDC=90°,∴∠DBC=∠C=30°,BC=2DC=2×3=6.
∵EF是梯形中位线,∴MF是三角形BCD的中位线,∴MF=BC=6=3,
故选:B.
点评:本题考查了等腰梯形的性质,利用了等腰梯形的性质,直角三角形的性质,三角形的中位线的性质.
2.(2014•湖南怀化,第5题,3分)如图,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC与BD相交于点O,则下列判断不正确的是()
A.△ABC≌△DCB B.△AOD≌△COB C.△ABO≌△DCO D.△ADB≌△DAC
考点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定.
分析:由等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,可得∠ABC=∠DCB,∠BAD=∠CDA,易证得△ABC≌△DCB,△ADB≌△DAC;继而可证得∠ABO=∠DCO,则可证得△ABO≌△DCO.
解答:解:A、∵等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
∴∠ABC=∠DCB,
在△ABC和△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(SAS);故正确;
B、∵AD∥BC,
∴△AOD∽△COB,
∵BC>AD,
∴△AOD不全等于△COB;故错误;
C、∵△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,
∵∠ABC=∠DCB,
∴∠ABO=∠DCO,
在△ABO和△DCO中,
∴△ABO≌△DCO(AAS);故正确;
D、∵等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
∴∠BAD=∠CDA,
在△ADB和△DAC中,
∴△ADB≌△DAC(SAS),故正确.
故选B.
点评:此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
3.(2014•山东淄博,第7题4分)如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC、DB相交于点P,∠BAC=∠CDB=90°,AB=AD=DC.则cos∠DPC的值是()
A.B.C.D.
考点:等腰梯形的性质.
分析:先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°,AD∥BC,故可得出∠DAP=∠ACB,∠ADB=∠ABD,再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB,∠DAP=∠ACD,所以∠DAP=∠ABD=∠DBC,再根据∠BAC=∠CDB=90°可知,3∠ABD=90°,故∠ABD=30°,再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数,进而得出结论.
解答:解:∵梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠DAB+∠BAC=180°,AD∥BC,
∴∠DAP=∠ACB,∠ADB=∠ABD,
∵AB=AD=DC,
∴∠ABD=∠ADB,∠DAP=∠ACD,
∴∠DAP=∠ABD=∠DBC,
∵∠BAC=∠CDB=90°,
∴3∠ABD=90°,
∴∠ABD=30°,
在△ABP中,
∵∠ABD=30°,∠BAC=90°,
∴∠APB=60°,
∴∠DPC=60°,
∴cos∠DPC=cos60°=.
故选A.
点评:本题考查的是等腰梯形的性质,熟知等腰梯形同一底上的两个角相等是解答此题的关键.
4.(2014•浙江宁波,第8题4分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD=90°,AB=2,DC=3,则△ABC与△DCA的面积比为()
A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.:
考点:相似三角形的判定与性质.
分析:先求出△CBA∽△ACD,求出=,COS∠ACB•COS∠DAC=,得出△ABC与△DCA的面积比=.
解答:解:∵AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°,
∴△CBA∽△ACD
AB=2,DC=3,
∴COS∠ACB==,
COS∠DAC==
∵△ABC与△DCA的面积比=,
∴△ABC与△DCA的面积比=,
故选:C.
点评:本题主要考查了三角形相似的判定及性质,解决本题的关键是明确△ABC与△DCA的面积比=.
5.(2014•湘潭,第3题,3分)如图,AB是池塘两端,设计一方法测量AB的距离,取点C,连接AC、BC,再取它们的中点D、E,测得DE=15米,则AB=()米.
(第1题图)
A.7.5 B.15 C.22.5 D.30
考点:三角形中位线定理
分析:根据三角形的中位线得出AB=2DE,代入即可求出答案.
解答:解:∵D、E分别是AC、BC的中点,DE=15米,
∴AB=2DE=30米,
故选D.
点评:本题考查了三角形的中位线的应用,注意:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
6.(2014•德州,第7题3分)如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为()
A.4米B.6米C.12米D.24米
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
分析:先根据坡度的定义得出BC的长,进而利用勾股定理得出AB的长.
解答:解:在Rt△ABC中,∵=i=,AC=12米,
∴BC=6米,
根据勾股定理得:
AB==6米,
故选B.
点评:此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,勾股定理,难度适中.根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键.
7.(2014•广西贺州,第9题3分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,∠B=60°,若AD=3,则梯形ABCD的周长为()
A.12 B.15 C.12 D.15
考点:等腰梯形的性质.
分析:过点A作AE∥CD,交BC于点E,可得出四边形ADCE是平行四边形,再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°,由三角形外角的定义求出∠EAC的度数,故可得出四边形ADEC是菱形,再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形,由此可得出结论.
解答:解:过点A作AE∥CD,交BC于点E,
∵梯形ABCD是等腰梯形,∠B=60°,
∴AD∥BC,
∴四边形ADCE是平行四边形,
∴∠AEB=∠BCD=60°,
∵CA平分∠BCD,
∴∠ACE=∠BCD=30°,
∵∠AEB是△ACE的外角,
∴∠AEB=∠ACE+∠EAC,即60°=30°+∠EAC,
∴∠EAC=30°,
∴AE=CE=3,
∴四边形ADEC是菱形,
∵△ABE中,∠B=∠AEB=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴AB=BE=AE=3,
∴梯形ABCD的周长=AB+(BE+CE)+CD+AD=3+3+3+3+3=15.
故选D.
点评:本题考查的是等腰梯形的性质,根据题意作出辅助线,构造出平行四边形是解答此题的关键.
8.(2014•襄阳,第10题3分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE∥AB,DE=DC,∠C=80°,则∠A等于()
A.80°B.90°C.100°D.110°
考点:梯形;等腰三角形的性质;平行四边形的判定与性质.
分析:根据等边对等角可得∠DEC=80°,再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°,∠A=180°﹣80°=100°.
解答:解:∵DE=DC,∠C=80°,
∴∠DEC=80°,
∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEC=80°,
∵AD∥BC,
∴∠A=180°﹣80°=100°,
故选:C.
点评:此题主要考查了等腰三角形的性质,以及平行线的性质,关键是掌握两直线平行,同位角相等,同旁内角互补.
9.(2014•台湾,第3题3分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E点在BC上,且AE⊥BC.若AB=10,BE=8,DE=6,则AD的长度为何?()
A.8 B.9 C.62 D.63
分析:利用勾股定理列式求出AE,再根据两直线平行,内错角相等可得∠DAE=90°,然后利用勾股定理列式计算即可得解.
解:∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
∵AB=10,BE=8,
∴AE=AB2-BE2=102-82=6,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB=90°,
∴AD=DE2-AE2=(63)2-62=62.
故选C.
点评:本题考查了梯形,勾股定理,是基础题,熟记定理并确定出所求的边所在的直角三角形是解题的关键.
10.(2014年广西钦州,第10题3分)如图,等腰梯形ABCD的对角线长为13,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH的周长是()
A.13 B.26 C.36 D.39
考点:等腰梯形的性质;中点四边形.
分析:首先连接AC,BD,由点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,可得EH,FG,EF,GH是三角形的中位线,然后由中位线的性质求得答案.
解答:解:连接AC,BD,
∵等腰梯形ABCD的对角线长为13,
∴AC=BD=13,
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,
∴EH=GF=BD=6.5,EF=GH=AC=6.5,
∴四边形EFGH的周长是:EH+EF+FG+GF=26.
故选B.
点评:此题考查了等腰梯形的性质以及三角形中位线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
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