这道初中数学题的正确答案为：

见解题思路

解题思路
解：（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DEAB，DFAC。
又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，
∴BG=AC+AG。
∵BG=AB－AG，∴BG=。
（2）证明：BG=，FG=BG－BF=，∴FG=DF。∴∠FDG=∠FGD。
又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD。∴∠FDG=∠EDG。
∴DG平分∠EDF。
（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG是等腰三角形。
∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形。
∴∠B=∠BGD。∴BD=DG。
∴CD= BD=DG。∴B、G、C三点共圆。
∴∠BGC=90°。∴BG⊥CG。
三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理。
（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，易得BG=AC+AG，又由BG=AB－AG即可得BG=。
（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG。
（3）由△BDG与△DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥C。