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相似多边形的性质
如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结P...
2022-12-25 01:15
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站内问答
/
数学
1997
1
6
这道
初中
数学的题目是:
如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ,以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°其中完全正确的是( )
A.①②③④ B.②③④⑤ C.①③④⑤ D.①②③⑤
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处女座的玫瑰花
1楼-- · 2022-12-25 01:25
这道
初中
数学题的正确答案为:
D
解题思路
①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,从而证出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE;
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知②正确;
③根据②△CQB≌△CPA(ASA),可知③正确;
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知④错误;
⑤利用等边三角形的性质,BC∥DE,再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,可知⑤正确.
解答:
解:∵等边△ABC和等边△CDE,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,
∴①正确,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠DAC,
又∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,即∠ACP=∠BCQ,
又∵AC=BC,
∴△CQB≌△CPA(ASA),
∴CP=CQ,
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形,
∴∠PQC=∠DCE=60°,
∴PQ∥AE②正确,
∵△CQB≌△CPA,
∴AP=BQ③正确,
∵AD=BE,AP=BQ,
∴AD-AP=BE-BQ,
即DP=QE,
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,
∴∠DQE≠∠CDE,故④错误;
∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
∵等边△DCE,
∠EDC=60°=∠BCD,
∴BC∥DE,
∴∠CBE=∠DEO,
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,
∴⑤正确.
故正确的有:①②③⑤.
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②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知②正确;
③根据②△CQB≌△CPA(ASA),可知③正确;
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知④错误;
⑤利用等边三角形的性质,BC∥DE,再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,可知⑤正确.
解答:解:∵等边△ABC和等边△CDE,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,
∴①正确,
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠DAC,
又∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,即∠ACP=∠BCQ,
又∵AC=BC,
∴△CQB≌△CPA(ASA),
∴CP=CQ,
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形,
∴∠PQC=∠DCE=60°,
∴PQ∥AE②正确,
∵△CQB≌△CPA,
∴AP=BQ③正确,
∵AD=BE,AP=BQ,
∴AD-AP=BE-BQ,
即DP=QE,
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,
∴∠DQE≠∠CDE,故④错误;
∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
∵等边△DCE,
∠EDC=60°=∠BCD,
∴BC∥DE,
∴∠CBE=∠DEO,
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,
∴⑤正确.
故正确的有:①②③⑤.
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