一元二次方程根与系数的关系

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=53，若关于x的方程（53+b）x2+2ax+（53-b）=0有两个相等的实数根，又方程2x2-（1...

2022-12-24 18:47发布

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这道初中数学的题目是：
在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=5
3
，若关于x的方程（5
3
+b）x2+2ax+（5
3
-b）=0有两个相等的实数根，又方程2x2-（10sinA）x+5sinA=0的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积．
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1条回答
逍遥随从
1楼-- · 2022-12-24 18:58
这道初中数学题的正确答案为：
∵方程（5
3
+b）x2+2ax+（5
3
-b）=0有相等实数根，
∴△=（2a）2-4（5
3
+b）（5
3
-b）=0．
得a2+b2=75．
∵C2=75，∴a2+b2=c2．
故△ABC是直角三角形，且∠C=90°．                         （2分）
设x1、x2是2x2-（10sinA）x+5sinA=0的两实数根，
则x1+x2=5sinA，x1•x2=
5
2
sinA．
∵x12+x22=6，而x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2
∴（5sinA）2-5sinA-6=0．
解得sinA=
3
5
，或sinA=-
2
5
（舍去）．                         （5分）
在Rt△ABC中，
C=5
3
，a=c•sinA=3
3
，b=
c2-a2
=4
3

故S△ABC=
1
2
ab=18．                                        （8分）
解题思路 3

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