这道初中数学题的正确答案为：

C

解题思路 ①根据直角三角形两角互补的性质即可进行解答；
②由于BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB=90°，可求出△BCD≌△BED，故可得出结论；
③由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，可知此小题错误；
④由②中△BCD≌△BED可得出结论．
①∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠BCF+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCF，故此小题正确；
②∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CD，BD=BD，
∴△BCD≌△BED；
∴CD=CG，故此小题正确；
③由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，故此小题错误；
④由②可知，
∵△BCD≌△BED，
∴BC=BE，故此小题正确．
故①②④正确．
本题考查的是角平分线的性质，即角平分线上的点到线段两端的距离相等