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一元二次方程根与系数的关系
已知:四边形ABCD中,AB∥CD,且AB、CD的长是关于x的方程x2-2mx+(m-12)2+74=0的两个根.(1)当m=2和m>2时,四边形ABCD分别是...
2022-12-22 07:30
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/
数学
332
1
3
这道
初中
数学的题目是:
已知:四边形ABCD中,AB
∥
CD,且AB、CD的长是关于x的方程x
2
-2mx+(m-
1
2
)
2
+
7
4
=0的两个根.
(1)当m=2和m>2时,四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由.
(2)若M、N分别是AD、BC的中点,线段MN分别交AC、BD于点P、Q,PQ=1,且AB<CD,求AB、CD的长;
(3)在(2)的条件下,AD=BC=2,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是tan∠BDC和tan∠BCD.
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江山
1楼-- · 2022-12-22 07:57
这道
初中
数学题的正确答案为:
(1)当m=2时,x
2
-4x+4=0.
∵△=0,方程有两个相等的实数根.
∴AB=CD,此时AB
∥
CD,则该四边形是平行四边形;
当m>2时,△=m-2>0,
又∵AB+CD=2m>0,
AB•CD=(m-
1
2
)
2
+
7
4
>0,
∴AB≠CD.
该四边形是梯形.
(2)根据三角形的中位线定理可以证明:连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半.
则根据PQ=1,得CD-AB=2.
根据(1)中的AB+CD和AB•CD的式子得(2m)
2
-4(m
2
-m+2)=4,
∴m=3.
当m=3时,则有x
2
-6x+8=0,
∴x=2或x=4,
即AB=2,CD=4.
(3)根据该梯形是等腰梯形,平移一腰,则得到等边△BEC.
∴∠BCD=60°,∠BDC=30°.
∵tan∠BDC+tan∠BCD=
4
3
3
,
tan∠BDC•tan∠BCD=1.
∴所求作的方程是y
2
-
4
3
3
y+1=0.
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∵△=0,方程有两个相等的实数根.
∴AB=CD,此时AB∥CD,则该四边形是平行四边形;
当m>2时,△=m-2>0,
又∵AB+CD=2m>0,
AB•CD=(m-
∴AB≠CD.
该四边形是梯形.
(2)根据三角形的中位线定理可以证明:连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半.
则根据PQ=1,得CD-AB=2.
根据(1)中的AB+CD和AB•CD的式子得(2m)2-4(m2-m+2)=4,
∴m=3.
当m=3时,则有x2-6x+8=0,
∴x=2或x=4,
即AB=2,CD=4.
(3)根据该梯形是等腰梯形,平移一腰,则得到等边△BEC.
∴∠BCD=60°,∠BDC=30°.
∵tan∠BDC+tan∠BCD=
tan∠BDC•tan∠BCD=1.
∴所求作的方程是y2-
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