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(11·大连)(本题12分)在△ABC中,∠A=90°,点D在线段BC上,∠EDB=∠C,BE⊥DE,垂足为E,DE与AB相交于点F.(1)当AB=AC时,(如...
2022-12-23 19:07
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/
数学
1727
1
3
这道
初中
数学的题目是:
(11·大连)(本题12分)在△ABC中,∠A=90°,点D在线段BC上,∠EDB
=
∠C,BE⊥DE,垂足为E,DE与AB相交于点F.
(1)当AB=AC时,(如图13),
① ∠EBF=_______°;
② 探究线段BE与FD的数量关系,并加以证明;
(2)当AB=kAC时(如图14),求
的值(用含k的式子表示).
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多彩岁月
1楼-- · 2022-12-23 19:28
这道
初中
数学题的正确答案为:
解:(1)①22.5°…………………………2分
证明:如图1,过点D作DG∥CA,与BE的延长线相交于点G,与AB相交于点H
则∠GDB=∠C ∠BHD=∠A=90°=∠GHB
又∵DE=DE,∠DEB=∠DEG=90°
∴△DEB≌△DEG
∵AB=AC ∠A=90°
∴∠ABC=∠C=∠GDB
∴HB=HD
∵∠DEB=∠BHD=90° ∠BFE=∠DFH
∴∠EBF=∠HDF
∴△GBH≌△FDH
∴GB=FD…………………………6分
(2)如图1,过点D作DG∥CA,与BE的延长线相交于点G,与AB相交于点H
又∵DG∥CA
∴△BHD∽△BAC
第二种解法:
解:(1)①∵AB=AC∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=
∠C
∴∠EDB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=67.5°
∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°
②在△BEF和△DEB中
∵∠E=∠E=90°
∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如图:BG平分∠ABC,
∴BG=GD△BEG是等腰直角三角形
设EF=x,BE=y,
则:BG=GD=
y
FD=
y+y-x
∵△BEF∽△DEB
∴
=
即:
=
得:x=(
-1)y
∴FD=
y+y-(
-1)y=2y
∴FD=2BE.
(2)如图:作∠ACB的平分线CG,交AB于点G,
∵AB=kAC
∴设AC=b,AB=kb,BC=
b
利用角平分线的性质有:
=
即:
=
得:AG=
∵∠EDB=
∠ACB
∴tan∠EDB=tan∠ACG=
∵∠EDB=
∠ACB
∠ABC=90°-∠ACB
∴∠EBF=90°-∠ABC-∠EDB=
∠ACB
∴△BEF∽△DEB
∴EF=
BE
ED=
BE=EF+FD
∴FD=
BE-
BE=
BE.
∴
=
.
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证明:如图1,过点D作DG∥CA,与BE的延长线相交于点G,与AB相交于点H
则∠GDB=∠C ∠BHD=∠A=90°=∠GHB
又∵DE=DE,∠DEB=∠DEG=90°
∴△DEB≌△DEG
∵AB=AC ∠A=90°
∴∠ABC=∠C=∠GDB
∴HB=HD
∵∠DEB=∠BHD=90° ∠BFE=∠DFH
∴∠EBF=∠HDF
∴△GBH≌△FDH
∴GB=FD…………………………6分
(2)如图1,过点D作DG∥CA,与BE的延长线相交于点G,与AB相交于点H
又∵DG∥CA
∴△BHD∽△BAC
第二种解法:
解:(1)①∵AB=AC∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=∠C
∴∠EDB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=67.5°
∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°
②在△BEF和△DEB中
∵∠E=∠E=90°
∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如图:BG平分∠ABC,
∴BG=GD△BEG是等腰直角三角形
设EF=x,BE=y,
则:BG=GD=y
FD=y+y-x
∵△BEF∽△DEB
∴ =
即:=
得:x=(-1)y
∴FD=y+y-(-1)y=2y
∴FD=2BE.
(2)如图:作∠ACB的平分线CG,交AB于点G,
∵AB=kAC
∴设AC=b,AB=kb,BC=b
利用角平分线的性质有:=
即:=
得:AG=
∵∠EDB=∠ACB
∴tan∠EDB=tan∠ACG=
∵∠EDB=∠ACB
∠ABC=90°-∠ACB
∴∠EBF=90°-∠ABC-∠EDB=∠ACB
∴△BEF∽△DEB
∴EF=BE
ED=BE=EF+FD
∴FD=BE-BE=BE.
∴ =.
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